Spinh-Struktur

Eine Spinʰ-Struktur ist im mathematischen Teilgebiet der Spin-Geometrie, wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, eine klassifizierende Abbildung, die für spezielle orientierbare Mannigfaltigkeiten existieren kann. Solche Mannigfaltigkeiten werden Spinʰ-Mannigfaltigkeiten genannt. H steht dabei für die Quaternionen, welche mit $\mathbb {H}$ notiert werden und in der Definition der zugrundeliegenden Spinʰ-Gruppe auftauchen.

Definition

Sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierbare Mannigfaltigkeit. Ihr Tangentialbündel $TM$ wird über den Rückzug von Vektorbündeln durch eine klassifizierende Abbildung $M\rightarrow \operatorname {BSO} (n)$ in den klassifizierenden Raum $\operatorname {BSO} (n)$ der speziellen orthogonalen Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ beschrieben. Diese kann über die von der kanonischen Projektion $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)$ induzierte Abbildung $\operatorname {BSpin} ^{\mathrm {h} }(n)\twoheadrightarrow \operatorname {BSO} (n)$ faktorisieren. In diesem Fall hebt sich die klassifizierende Abbildung des Tangentialbündels zu einer Abbildung $M\rightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {h} }(n)$ in den klassifizierenden Raum $\operatorname {BSpin} ^{\mathrm {h} }(n)$ der Spinʰ-Gruppe $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n)$, welche Spinʰ-Struktur genannt wird.

Die möglichen Hebungen entsprechen durch Bijektion eineindeutig den Homotopieklassen $[M,\operatorname {BSp} (1)]$ der stetigen Abbildungen in den klassifizierenden Raum $\operatorname {BSp} (1)\cong \operatorname {BSU} (2)\cong \mathbb {H} P^{\infty }$ der ersten symplektischen Gruppe $\operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)$, welche als andere Komponente der Spinʰ-Gruppe die Transformation der Fasern kontrolliert.

Wegen der kanonischen Projektion $\operatorname {BSpin} ^{\mathrm {h} }(n)\rightarrow \operatorname {SU} (2)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {SO} (3)$ induziert jede Spinʰ-Struktur ein kanonisches $\operatorname {SO} (3)$-Hauptfaserbündel oder äquivalent ein orientierbares reelles Vektorbündel vom Rang $3$.

Eigenschaften

• Jede Spin-Struktur und sogar jede Spinᶜ-Struktur ist eine Spinʰ-Struktur. Die Umkehrungen gelten nicht, wie die komplexe projektive Ebene $\mathbb {C} P^{2}$ und die Wu-Mannigfaltigkeit $\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)$ zeigen.
• Für eine Mannigfaltigkeit $M$ mit einer Spinʰ-Struktur verschwindet ihre fünfte integrale Stiefel-Whitney-Klasse $W_{5}(M)$, weshalb die vierte Stiefel-Whitney-Klasse $w_{4}(M)$ im Bild der kanonischen Projektion $H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{2}(M,\mathbb {Z} _{2})$ liegt. Im Gegensatz zum analogen Resultat für Spinᶜ-Strukturen gilt hier keine Umkehrung.
• Jede orientierbare glatte Mannigfaltigkeit mit sieben oder weniger Dimensionen hat eine Spinʰ-Struktur.
• In acht oder mehr Dimensionen gibt es unendlich viele Homotopietypen von geschlossenen einfach zusammenhängenden glatten Mannigfaltigkeiten ohne Spinʰ-Struktur.
• Für eine geradedimensionale kompakte Spinʰ-Mannigaltigkeit $M$, für welche ihre vierte Betti-Zahl $b_{4}(M)=\dim H^{4}(M,\mathbb {R} )$ verschwindet oder die Pontrjagin-Klasse $p_{1}(E)\in H^{4}(M,\mathbb {Z} )$ ihres kanonischen $\operatorname {SO} (3)$-Hauptfaserbündels eine Torsionsklasse ist, ist ihr doppeltes Â-Geschlecht $2{\widehat {A}}(M)$ eine ganze Zahl.

Folgende Eigenschaften gelten allgemeiner für die Hebung auf die Lie-Gruppe $\operatorname {Spin} ^{k}(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Spin} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}$, wobei speziell für $k=3$ gilt:

• Ist $M\times N$ eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit, dann sind $M$ und $N$ jeweils Spinʰ-Mannigfaltigkeiten.
• Ist $M$ eine Spin-Mannigfaltigkeit, dann ist $M\times N$ genau dann eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit, wenn $N$ eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit ist.
• Für Spinʰ-Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ gleicher Dimension ist ihre verbundene Summe $M\#N$ ebenfalls eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit.
• Es sind äquivalent:
  • $M$ ist eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit.
  • Es gibt ein Vektorbündel $E\twoheadrightarrow M$ dritten Ranges, sodass $TM\oplus E$ eine Spin-Struktur hat, also $w_{2}(TM)=w_{2}(E)$.
  • $M$ lässt sich in eine Spin-Mannigfaltigkeit mit drei Dimensionen mehr immersieren.
  • $M$ lässt sich in eine Spin-Mannigfaltigkeit mit drei Dimensionen mehr einbetten.

Literatur

• Christian Bär: Elliptic symbols. In: Mathematische Nachrichten. Band 201, Nr. 1, Januar 1999 (englisch, researchgate.net). 
• Michael Albanese und Aleksandar Milivojević: Spinʰ and further generalisations of spin. In: Journal of Geometry and Physics. Band 164, Juli 2021, S. 104–174, doi:10.1016/j.geomphys.2022.104709, arxiv:2008.04934 [abs] (englisch). 

Weblinks

• spinʰ structure auf nLab (englisch)