Quaternion

nichtkommutative Erweiterung der reellen Zahlen

Die Quaternionen (Singular das oder die Quaternion, von lateinisch quaternio, -ionis f. „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von William Rowan Hamilton;[1] sie werden deshalb auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen genannt. Olinde Rodrigues entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton.[2] Trotzdem wird die Menge der Quaternionen meistens mit bezeichnet.

Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der Reihenfolge der Faktoren abhängt, also nicht kommutativ ist. Das heißt, es gibt Quaternionen und , bei denen

ist. Einige aus dem Reellen bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten Assoziativ- und Distributivgesetz sowie multiplikative Invertierbarkeit, d. h. die Existenz des Inversen zu jedem . Die Quaternionen waren das erste Beispiel eines nichtkommutativen Schiefkörpers.[3]

Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen euklidischen Raumes und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung kristallographischer Texturen.[4] Sie sind aber auch als eigenständiges mathematisches Objekt von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des Vier-Quadrate-Satzes.

Konstruktion

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Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen (Adjunktion) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen  ,   und   gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch ein Vektorraum) mit einem Realteil, der aus einer reellen Komponente besteht, und einem Imaginärteil aus drei Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird.

Alle Quaternionen lassen sich eindeutig in der Form

 

mit reellen Zahlen  ,  ,  ,   schreiben. Damit bilden die Elemente   eine Basis, die Standardbasis der Quaternionen über  . Die Addition ist komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen  ,  ,   gemäß den Hamilton-Regeln

 

verknüpft. Die Skalarmultiplikation  , die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wird[5] und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem Rechtsdistributivgesetz und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar   als   in   eingebettet wird, kann   als Unterring von   aufgefasst werden.

Die so definierte Multiplikation ist assoziativ, erfüllt die beiden Distributivgesetze[6] und macht so die Quaternionen zu einem Ring. Sie ist allerdings nicht kommutativ, d. h., für zwei Quaternionen   und   sind die beiden Produkte   und   im Allgemeinen verschieden (s. u.). Das Zentrum von  , also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von  , die mit allen Elementen kommutieren, ist  .

Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion   eine inverse Quaternion   gibt mit

  .

Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z. B.  , vermieden.

Des Weiteren sind die Quaternionen eine vierdimensionale Divisionsalgebra über   – und bis auf Isomorphie die einzige.

Schreibweise

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Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt:

Ist   eine Quaternion, dann werden ihre reellen Komponenten mit   bezeichnet, und diese sind der Basis   folgendermaßen zugeordnet:

 

Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten   zu einem 3-dimensionalen Vektor   zusammengefasst, so dass man   mit dem 4-dimensionalen Vektor   identifizieren kann.[7]

Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie   etc. gelten.

In mancher älteren Literatur wurden Quaternionen mit großen Frakturbuchstaben und die imaginären Einheiten als Einheitsvektoren mit kleinen   in Fraktur bezeichnet, z. B. so:

 

mit  .

Komplexe Zahlen tragen meist den Namen   und haben die reellen Komponenten  ,  .

Grundrechenarten

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Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern derer drei, die mit  ,   und   bezeichnet werden.

Die Linearkombinationen

 

über der Basis   spannen mit reellen Komponenten   den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen   auf. Als Vektorraum ist   isomorph zu  . Das Basiselement  , das die reellen Zahlen injektiv einbettet (und zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt), wird in der Linearkombination meist weggelassen. Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise.

Vom Vektorraum wird auch die Skalarmultiplikation übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird. Diese Skalarmultiplikation ist eine Einschränkung der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz   definiert ist. Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge

 

geschieht nach den Hamilton-Regeln

  •  
 
  •  
 
  •  
 .

Diese Regeln zusammen mit der Vertauschbarkeit von   mit jedem anderen Element geben eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung vor, die sich als assoziativ erweist und   zu einer Gruppe macht – der Quaternionengruppe.

Unter Voraussetzung der Regel   (und der Gruppenaxiome) ist die Kombination aus   und  , in der das zyklische und antizyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten zum Ausdruck kommt, ersetzbar durch die Einzelregel

  •  
 .

Diese Einzelregel   könnte auch durch jede der fünf alternativen Einzelregeln  ,  ,  ,   oder   ersetzt werden.

Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, des Assoziativgesetzes und (linken sowie rechten) Distributivgesetzes lässt sich die Multiplikation auf ganz   fortsetzen. Die   kann man wie anti-kommutierende Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen.

Die ausgearbeiteten Formeln für die zwei Verknüpfungen von zwei Quaternionen

    und    

lauten

 

bzw.

 

Herleitung:[8]

 

Damit sind die für einen Ring erforderlichen zwei Verknüpfungen definiert. Es ist leicht nachgerechnet, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind.

Das additive Inverse ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar −1. Die Subtraktion ist die Addition dieses Inversen.

Die für einen Schiefkörper erforderliche Division muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe Inverses und Division).[9]

Gegenring

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Ist   ein Ring, dann wird der mit der Multiplikation

 

ausgestattete Ring   als Gegenring bezeichnet. Hier folgen alle Ringgesetze, das heißt das Assoziativgesetz sowie beide Distributivgesetze, aus den ursprünglichen Gesetzen. Im Gegenring  , der wegen der Nicht-Kommutativität von   von diesem verschieden ist, gelten alle im Abschnitt Grundrechenarten angeführten Rechenregeln bis auf die Multiplikation, bei der die Vorzeichen der Terme, die nur Koeffizienten   mit   und   haben, invertiert sind. Ferner gilt die Kurzform

 .

Im Übrigen hat Gauß laut Lam:Eq. (1.4) die Quaternionenmultiplikation im Jahr 1819 genau so definiert.

Des Weiteren ist die Orientierung des Dreibeins   in   gespiegelt. Die Identität auf der Grundmenge   ist ein Antiisomorphismus und die Konjugation ein Isomorphismus.

Die Nichtkommutativität ist gleichbedeutend mit der Verschiedenheit von   und  . Da beide Ringe die Ringaxiome der Quaternionen erfüllen, muss dieses Axiomensystem „unvollständig“ sein im Sinne Hölders. In diesem Sinn vollständig sind die Axiomensysteme der rationalen, reellen oder komplexen Zahlen.

Grundlegende Begriffe

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Skalarteil und Vektorteil

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Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente   einer Quaternion

 

bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als Realteil oder Skalarteil

  ,

während die Komponenten   zusammen den Imaginärteil oder Vektorteil

 

bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor  .

Konjugation

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Zu jeder Quaternion

 

ist die konjugierte Quaternion definiert als

  .

Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen

 

und

  ,

aus denen sich unmittelbar

 

und

 

ausrechnet.[10]

Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d. h., der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine reine Quaternion, d. h., der Skalarteil ist null.

Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind:

  •  

Die Konjugation ist eine Involution.

  •   und
      für reelle Zahlen  
Die Konjugation ist  -linear.
  •  

Die Konjugation ist ein involutiver Antiautomorphismus.

  •      

Die Konjugation lässt sich „mit arithmetischen Mitteln“ darstellen.[11]

Skalarprodukt

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Das Skalarprodukt   zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im  , ist definiert durch

  .

Es gilt

  .

Es ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform, über die sich Norm und Betrag definieren lassen und mit der Winkel und Orthogonalität bestimmt werden können.

Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren:

  .

Das aus der Physik weit verbreitete Vorgehen, das Skalarprodukt abkürzend wie eine Multiplikation mit dem Mittepunkt   zu notieren, wird auch bei den Quaternionen häufig angewandt, wobei hier die Verwechslungsgefahr zwischen Quaternionenmultiplikation und Skalarprodukt hoch ist.

Im Folgenden verwenden wir folgende Konvention:

  • Das Quaternionenprodukt wird stets ohne Benutzung des Mittepunkts durch Aneinanderreihung der Faktoren notiert.
  • Das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale, wird in Multiplikationsschreibweise mit dem Mittepunkt   notiert.

Kreuzprodukt

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Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen   ist das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor 2 ihr Kommutator. Ist   und  , so ist

 

Quaternionenmultiplikation als Skalar- und Kreuzprodukt

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Identifiziert man Quaternionen

 
und

 

mit Paaren aus einem Skalar   und einem Vektor  

    mit    
bzw.

    mit     ,

so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) Skalarprodukts und Kreuzprodukts beschreiben:

  .

Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander vertauschbar, wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s. a. Einbettung der komplexen Zahlen).

Norm und Betrag

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Das Skalarprodukt einer Quaternion   mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird Norm genannt:

  [12]

Insbesondere ist dieser Wert reell und nichtnegativ.

Die Quadratwurzel daraus

 

wird Betrag oder Länge der Quaternion   genannt und stimmt überein mit Betrag oder euklidischer Länge des Vektors  . Er erfüllt die wichtige Eigenschaft

  ,

die Multiplikativität des Betrags. Mit dem Betrag werden die Quaternionen zu einer reellen Banachalgebra.

Inverses und Division

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Bei einer nicht-kommutativen Multiplikation muss man die Gleichungen

 
und

 

unterscheiden. Wenn das Inverse   existiert, dann sind

 
bzw.

 

respektive Lösungen, die nur dann übereinstimmen, wenn   und   kommutieren, insbesondere wenn der Divisor   reell ist. In solch einem Fall kann die Schreibweise   verwendet werden – bei allgemeinen Divisionen wäre sie nicht eindeutig.

Wenn zusätzlich   existiert, gilt die Formel

 ,

denn

       und       .

Für

 

ist die Norm

 

reell und positiv. Die Quaternion

 

erfüllt dann die Bedingungen des Rechts-

 

und des Links-Inversen

 

und kann deshalb als das Inverse schlechthin von   bezeichnet werden.

Reine Quaternion

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Eine Quaternion, deren Vektorteil 0 ist, wird mit der ihrem Skalarteil entsprechenden reellen Zahl identifiziert.

Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist (äquivalent, deren Quadrat reell und nichtpositiv ist), nennt man rein, rein imaginär oder vektoriell. Die Menge der reinen Quaternionen wird als   oder   notiert. Sie ist ein dreidimensionaler reeller Vektorraum mit Basis  . Für reine Quaternionen nimmt die Multiplikation eine besonders einfache Form an:

  .

Einheitsquaternion

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Eine Einheitsquaternion (auch normierte Quaternion, Quaternion der Länge 1) ist eine Quaternion, deren Betrag gleich 1 ist. Für sie gilt (analog zu den komplexen Zahlen)

 .

Für eine beliebige Quaternion   ist

 

eine Einheitsquaternion, die man manchmal auch als das Signum oder den Versor von   bezeichnet.

Das Produkt zweier Einheitsquaternionen und die Inverse einer Einheitsquaternion sind wieder Einheitsquaternionen. Die Einheitsquaternionen bilden also eine Gruppe.

Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die Einheits-3-Sphäre   im vierdimensionalen euklidischen Raum und damit als Lie-Gruppe interpretieren, mit dem Raum der reinen Quaternionen als zugehöriger Lie-Algebra. Die Darstellung als komplexe Matrizen verdeutlicht die umkehrbar eindeutige Entsprechung der Einheitsquaternionen mit der speziellen unitären Gruppe  .

Die einzigen reellen Einheitsquaternionen sind  . Sie machen auch das Zentrum von   aus.

Reine Einheitsquaternion

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Einheitsquaternionen, die auch reine Quaternionen sind, lassen sich als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrate   ergeben:

 .[13]

Sie liegen in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre   und machen die Einheits-2-Sphäre   des dreidimensionalen Raums   aus.

Einbettung der komplexen Zahlen

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Jede Quaternion   mit Quadrat   definiert einen Einbettungsisomorphismus   der komplexen Zahlen in die Quaternionen

 

mit   und   als imaginärer Einheit der komplexen Zahlen. Dabei sind die Bildmengen der   und   entsprechenden Einbettungen identisch:  .

Eine jede solche Quaternion darf   genannt werden, eine senkrechte dazu   und ihr Produkt  .[14]:Seite 40. [15] Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen Einbettung von   . Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn es eine gemeinsame Einbettung gibt.

Zwei verschiedene Bilder haben die reelle Achse zum Durchschnitt.

So betrachtet, sind die Quaternionen eine Vereinigung komplexer Ebenen.

Polardarstellung

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Jede Einheitsquaternion   kann auf eindeutige Weise in der Form

 
mit dem Polarwinkel[16] von  
 
und der reinen Einheitsquaternion
 

dargestellt werden.

Mit der verallgemeinerten Exponentialfunktion lässt sich das wegen   auch schreiben als

 

mit der reinen Quaternion  . Will man also eine reine Quaternion   exponentiieren, so ist ihr Betrag   und die reine Einheitsquaternion   zu bilden, und es ergibt sich die Einheitsquaternion

 .

Der Fall       lässt sich stetig ergänzen. Damit ist die Exponentialabbildung   surjektiv. Nun ist   für alle   mit  , und das sind unendlich viele. Gleichwohl ist die Einschränkung   bijektiv. Sie ist stetig, wegen der Nicht-Kommutativität der Multiplikation aber kein Homomorphismus[17].

Allgemein lässt sich jede nicht-reelle Quaternion eindeutig in der Form

 
mit dem Polarwinkel von  
 
und der reinen Einheitsquaternion (der reinen und normierten Quaternion von  )
 

schreiben. Durch die Festlegung   ist  , so dass   in dieselbe Richtung wie der Vektorteil   zeigt.

Jede nicht reell-negative Quaternion schreibt sich eindeutig als

 

mit einer reinen Quaternion   mit    .

Diese Darstellungen sind der Polarform komplexer Zahlen

 

(mit   als imaginärer Einheit) analog. Für die Funktionalgleichung

 

müssen   allerdings kommutieren.[17][18]

Funktionentheorie

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Exponentialfunktion, Logarithmus

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Das Exponential einer nicht-reellen Quaternion   ist:

 

mit   .

Der (natürliche) Logarithmus einer nicht-reellen Quaternion   ist:

  [19]

Für nicht-reelles   sind sie Umkehrfunktionen voneinander

 

und, falls  ,

  .

Für nicht-reelles, mit   kommutierendes   gelten die Funktionalgleichungen

 

und

  ,

letzteres für   mit hinreichend kleinem Imaginärteil.

Fortsetzungen komplexer Funktionen

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Im kommutativen Diagramm müssen sich   und   auf   vertragen.

Da   als eine Vereinigung von Einbettungen komplexer Ebenen aufgefasst werden kann (s. Abschnitt #Einbettung der komplexen Zahlen), kann man versuchen, Funktionen  [20] mithilfe der genannten Einbettungsisomorphismen   vom Komplexen ins Quaternionische zu liften. Dabei ist zu fordern, dass die so gewonnenen Funktionen   mit   bei Überschneidungen der Definitionsbereiche dasselbe Ergebnis liefern, so dass die vereinigte Funktion   auf der Vereinigungsmenge   vermöge   als   in wohldefinierter Weise gebildet werden kann.

Sei   eine komplexwertige Funktion   einer komplexen Variablen   mit reellen   und reellen  
Einbettbarkeit:   ist genau dann einbettbar in die Quaternionen, wenn   eine gerade und   eine ungerade Funktion des jeweils zweiten Arguments   ist.

Beweis 

Ist   eine beliebige nicht-reelle Quaternion, dann ist   eine reine und normierte Quaternion mit  . Seien ferner   und  , die beide reell sind. Sowohl   wie   ist ein Einbettungsisomorphismus für das Bild  . Im ersteren Fall ist   das Urbild von  , im zweiten Fall haben wir wegen   das Urbild  ; jeweils mit   als der imaginären Einheit von  . Die Urbilder sind verschieden, das Bild, das bei der zu bildenden Funktion   als Argument fungieren soll, ist aber beidesmal  .
Das „Liften“ wird durch die Einbettung der Funktionswerte als

 

und

 

vervollständigt (s. Diagramm). Nun ist nach Voraussetzung

 

so dass sich

 

ergibt und   nicht von der Wahl des Einbettungsisomorphismus abhängt.

Die Bedingung ist auch notwendig. Denn lässt umgekehrt die Funktion   eine Einbettung   in die Quaternionen zu, so gibt es zu jedem   eine geeignete reine Einheitsquaternion   und reelle   mit   und

 

Bei der konjugierten Quaternion   hat die Einbettung   dasselbe Bild   wie   und also   dieselbe Definitionsmenge wie  . Der Funktionswert

 

muss also mit dem vorigen für alle   übereinstimmen. ■

Die eingebettete Funktion   stimmt auf allen Teilmengen   mit   überein, kann also als Fortsetzung von   angesehen werden und, wenn Verwechslungen nicht zu befürchten sind, wird auch der Funktionsname beibehalten.

Ist   eine einbettbare Funktion, so ist   wegen der Ungeradheit von   in der zweiten Variablen, also   und   für  . Somit folgt aus der Einbettbarkeit, dass die Einschränkung aufs Reelle reell ist.[21] Zu dieser Klasse von komplexen Funktionen gehören Norm und Betrag, aber auch alle Laurent-Reihen   mit reellen Koeffizienten  , so die Exponential- und Logarithmusfunktion.[22]

Analysis

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Schwieriger ist es, eine allgemeine quaternionische Analysis mit Differential- und/oder Integralrechnung aufzustellen. Ein Problem springt unmittelbar ins Auge: der Begriff des Differenzenquotienten  , der in der reellen wie der komplexen Analysis so erfolgreich ist, muss wegen der Nicht-Kommutativität als linke und rechte Version definiert werden. Legt man dann genauso strenge Maßstäbe wie bei der komplexen Differenzierbarkeit an, dann stellt sich heraus, dass bestenfalls lineare Funktionen, und zwar   links und   rechts, differenzierbar sind.[23] Immer definieren lässt sich aber eine Richtungsableitung und das Gâteaux-Differential.

Ausgehend von den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und dem Satz von Morera wurde folgender Regularitätsbegriff gefunden: Eine quaternionische Funktion ist regulär an der Stelle  , wenn ihr Integral über jeder hinreichend kleinen   umschließenden Hyperfläche verschwindet.[24][25][26]

Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von Quaternionen

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Minkowski-Skalarprodukt

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Das Minkowski-Skalarprodukt zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im Minkowski-Raum, ist der Skalarteil von  :

 

Vektoranalysis

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Im Folgenden werden Vektoren im dreidimensionalen Raum   mit reinen Quaternionen  , also die üblichen  -Koordinaten mit den  -Komponenten identifiziert. Definiert man den Nabla-Operator (wie Hamilton) als

 

und wendet ihn auf eine skalare Funktion   als (formale) Skalarmultiplikation an, erhält man den Gradienten

 

Die Anwendung auf ein Vektorfeld

 

als (formales) Skalarprodukt ergibt die Divergenz

  .

Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Kreuzprodukt ergibt die Rotation

  .

Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Produkt zweier reiner Quaternionen ergibt

 

mit   als Skalarteil und   als Vektorteil der Quaternion.

Zweimalige Anwendung auf eine Funktion   ergibt den Laplace-Operator  

 

d. h.,   wirkt wie ein Dirac-Operator als (formale) „Quadratwurzel“ des (negativen) Laplace-Operators.

Drehungen im dreidimensionalen Raum

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Einheitsquaternionen können für eine elegante Beschreibung von Drehungen im dreidimensionalen Raum verwendet werden: Für eine feste Einheitsquaternion   ist die Abbildung

    bzw.    

auf   eine Drehung. (Hier, wie im Folgenden, ist nur von Drehungen die Rede, die den Ursprung festlassen, d. h., deren Drehachse durch den Ursprung verläuft.)

Die Polardarstellung stellt die Einheitsquaternion   durch einen Winkel   und eine reine Einheitsquaternion   eindeutig dar als

  .

Dann ist   eine Drehung des   um die Achse   mit Drehwinkel  .

Für jede Einheitsquaternion   definieren   und   dieselbe Drehung; insbesondere entsprechen   und   beide der identischen Abbildung (Drehung mit Drehwinkel 0). Im Unterschied zur Beschreibung von Drehungen durch orthogonale Matrizen handelt es sich also um keine 1:1-Entsprechung, zu jeder Drehung   gibt es genau zwei Einheitsquaternionen   mit  .

Die Hintereinanderausführung von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen, d. h.

 

Die Umkehrung der Drehrichtung entspricht dem Inversen:

 

Damit ist die Abbildung

 

ein Homomorphismus der Gruppe   der Einheitsquaternionen in die Drehgruppe  . Sie ist eine Überlagerung der  , und da ein Bildelement   genau die zwei Urbilder   hat, zweiblättrig, weshalb der Homomorphismus auch 2:1-Überlagerung(shomomorphismus)[14]:Seite 33. genannt wird. Ferner ist sie universell, da   einfach zusammenhängend ist.

Bezug zu orthogonalen Matrizen

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Explizit entspricht der Einheitsquaternion  ,

 

mit   und  , die Drehmatrix

 

diese Formel ist auch als Euler-Rodrigues-Formel bekannt. Sie bildet eine reine Quaternion   auf   ab.

Ist umgekehrt die Drehmatrix

 [27]

gegeben und ist die Spur

  mit   ,

dann bewerkstelligt die Quaternion

 

die Drehung  , denn es ist   für jede reine Quaternion   .

Wenn man die homogen formulierte Version von   als Eingabematrix nimmt, produziert die gezeigte Lösung mit   die Quaternion  . Wegen   kann die Homogenität in den   durch die Setzung   aufrechterhalten werden.

Die   hat wie die   über   die Dimension 3. Die neun Komponenten von   können also nicht alle frei wählbar sein. Da einer jeden Matrix   eine Quaternion   entspricht, decken die Drehmatrizen   die ganze   ab. Bei   ist  . Falls also wirklich  , ist auch   die Einheitsquaternion zu  .

Bezug zu Eulerwinkeln

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Für Eulerwinkel gibt es verschiedene Konventionen; die folgende Darlegung bezieht sich auf die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst um die  -Achse um den Winkel  , dann um die neue  -Achse um den Winkel   und schließlich um die neue  -Achse um den Winkel   dreht, d. i. die sog. „x-Konvention“ (z, x’, z’’) mit allen Winkeln doppelt. Die Einzeldrehungen entsprechen den Einheitsquaternionen

 

und da jeweils um die mitgedrehten Achsen gedreht wird, ist die Reihenfolge der Komposition umgekehrt. Die Gesamtdrehung entspricht also

 
 
 
 
 

Für andere Konventionen ergeben sich ähnliche Formeln.

Die Eulerwinkel zu einer gegebenen Quaternion lassen sich an der zugehörigen Drehmatrix ablesen.

Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe

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Wie im Abschnitt Einheitsquaternionen gezeigt, gibt es einen durch die Hamiltonschen Zahlen vermittelten Isomorphismus zwischen der Gruppe   der Einheitsquaternionen und der speziellen unitären Gruppe  . Diese beiden Gruppen sind isomorph zur Spingruppe   (zur Physik: siehe Spin).

Die 2:1-Überlagerung liefert also einen Homomorphismus der Spingruppe   in die Drehgruppe  . Diese Überlagerung ist zweiblättrig und universell, da   im Gegensatz zur   einfach zusammenhängend ist. Die natürliche Operation von   auf   ist eine sog. Spinordarstellung.

Die aus der Quantenmechanik bekannten sog. Pauli-Matrizen   stehen in einfacher Beziehung zu den drei Erzeugenden   der  . Das wird besonders deutlich in der Darstellung als komplexe Matrizen:

  ,

dabei ist   die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen.

Die Pauli-Matrizen haben −1 zur Determinante (sind also keine Quaternionen), sind spurfrei und hermitesch und kommen daher in der Quantenmechanik als messbare Größen in Frage, was sich für die Anwendungen (s. mathematische Struktur der Quantenmechanik) als wichtig erwiesen hat. Einzelheiten sind im Artikel SU(2) dargestellt.

Orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes

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Analog zum dreidimensionalen Fall kann man jede orientierungserhaltende orthogonale Abbildung von   in sich selbst in der Form

 

für Einheitsquaternionen   beschreiben. Es gilt

 

Diese Konstruktion liefert eine Überlagerung

 

mit Kern  .

Die endlichen Untergruppen

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Der 2:1-Überlagerungshomomorphismus

 ,

der einer Einheitsquaternion   die 3D-Drehung

 

zuordnet, muss eine endliche Gruppe   von Quaternionen in eine endliche Gruppe   überführen, die dann eine endliche Drehgruppe im   ist. Man findet zyklische Gruppen   und Polyedergruppen, also die Diedergruppen   (Zählweise der n-Ecke), die Tetraedergruppe  , die Oktaedergruppe   und die Ikosaedergruppe  .

Die Erzeugenden der zyklischen Gruppen sind Einbettungen von Einheitswurzeln  .[28] Die Urbilder der  ,  ,  ,   unter   werden mit  ,  ,  ,   bezeichnet und heißen binäre Diedergruppe etc. Für eine Polyedergruppe   ist also  .[29]

Die endlichen Gruppen von Quaternionen sind demnach[14]: 3.5 The Finite Groups of Quaternions, S. 33   :

Gruppe erzeugt
von
Ordnung konvexe Hülle im   bzw.  
      reguläres n-Eck
       [30], bei n=2 zugleich: regulärer 16-Zeller
      regulärer 24-Zeller
       [30] = Dihektaoktokontaoktochor (288-Zeller)
      regulärer 600-Zeller

mit

  ,     ,     ,     .

Die zyklischen Gruppen   sind in naheliegender Weise Untergruppen von anderen Gruppen. Die Quaternionengruppe   =   ist eine Untergruppe der binären Tetraedergruppe  . Die Automorphismengruppe von   ist isomorph zur Oktaedergruppe   (Symmetrische Gruppe). Ihre Elemente sind ebenfalls Automorphismen von  ,  ,   und  .

Die konvexen Hüllen sind (bis auf die Fälle  , bei denen man mit 2 Dimensionen auskommt) 4-Polytope und haben, da alle Gruppenelemente von der Länge 1 sind, die Einheits-3-Sphäre   als Um-3-Sphäre. Die Ränder dieser 4-Polytope, also die Zellen, sind Ansammlungen von Tetraedern – bis auf den Fall  , bei dem es Oktaeder sind. Bei den regulären unter den konvexen Hüllen ist es klar, dass die Zellen ebenfalls regulär und zueinander kongruent sind und es eine In-3-Sphäre gibt, die alle Zellen (an ihrem Mittelpunkt) berührt. Die übrigen, nämlich   und  , spannen sog. perfekte[30] 4-Polytope auf. Hier sind die Zellen tetragonale Disphenoide, welche ebenfalls alle zueinander kongruent sind und an ihrem Mittelpunkt von der In-3-Sphäre berührt werden.

Automorphismen

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Ein jeder Ring-Automorphismus   von   ist ein innerer,[31] d. h., es gibt eine Quaternion  , so dass   für alle  . Daraus folgt:

  • Das Zentrum   bleibt fest, d. h.   für alle  .
  • Man kann sich auf die Einheitsquaternionen   beschränken.
  • Ein Automorphismus ändert nicht das Skalarprodukt, d. h.  .
  • Die Automorphismen sind genau die winkel- und längentreuen Drehungen von   aus dem Abschnitt Drehungen im dreidimensionalen Raum.
  • Wegen der Längentreue sind die Automorphismen stetig, somit zusätzlich topologisch.
  •   hat das Zentrum  . Folglich ist die Automorphismengruppe  .

Die Konjugation als Spiegelung an der reellen Achse ist antihomomorph[32] in der Multiplikation, d. h.  , und wird als involutiver Antiautomorphismus bezeichnet, weil sie zudem eine Involution ist.

Andere Konstruktionen

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Matrixdarstellungen

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Komplexe Matrizen

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Im Ring   der komplexen 2×2-Matrizen bildet man den von den Elementen

 

erzeugten Unterring  [33], wobei die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen als   kenntlich gemacht ist.[34] Eine Matrix

 

mit reellen   und komplexen   hat die Determinante  , die nur dann 0 ist, wenn  . Somit sind alle von der Nullmatrix verschiedenen Matrizen invertierbar – und der Ring   ist ein Schiefkörper.[35]

Der so konstruierte Schiefkörper erweist sich als isomorph zu den Quaternionen. Denn die Abbildung   mit den Zuordnungen

 

ist homomorph in den Verknüpfungen Addition und Multiplikation, wobei letztere der Matrizenmultiplikation zuzuordnen ist. Die konjugierte Quaternion geht auf die adjungierte Matrix und die Norm auf die Determinante. Darüber hinaus ist die Abbildung injektiv und stetig, also topologisch.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einbettung  , die alle zueinander konjugiert und homöomorph sind.[36]

Reelle Matrizen

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Ganz analog kann man die Quaternion   auch als reelle 4×4-Matrix

 
 

schreiben. Die Konjugation der Quaternion entspricht der Transposition der Matrix und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante.

Das Modell der reellen Matrizen ist bspw. dann vorteilhaft, wenn man eine Software für lineare Algebra mit Schwächen bei den komplexen Zahlen hat.

Quotientenalgebra

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Eine elegante, aber zugleich abstrakte Konstruktion stellt der Weg über den Quotienten des nichtkommutativen Polynomrings in drei Unbestimmten dar, deren Bilder   sind, modulo dem Ideal, das von den Hamilton-Regeln erzeugt wird. Alternativ kommt man auch mit nur zwei Unbestimmten aus.

Auf diese Weise ergibt sich die Quaternionen-Algebra als Clifford-Algebra der zweidimensionalen, euklidischen Ebene mit Erzeugern  . Im Zusammenhang mit dreidimensionalen Drehungen ist auch die Interpretation als der gerade Anteil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen, euklidischen Raumes wichtig. Die Erzeuger werden dann mit   identifiziert.

Die Quaternionen als Algebra

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Es gibt bis auf Isomorphie genau vier endlichdimensionale  -Algebren, deren Multiplikation ohne Nullteiler ist, nämlich den Körper   der reellen Zahlen selbst, den Körper   der komplexen Zahlen, den Schiefkörper   der Quaternionen und den Alternativkörper   der Cayleyschen Oktaven.[37][38][39]

Das Zentrum von   ist  ; die Quaternionen sind also eine zentraleinfache Algebra über  . Reduzierte Norm und Spur sind durch

       bzw.       

gegeben.

Beim Basiswechsel von   zum algebraischen Abschluss   werden die Quaternionen zu einer Matrizenalgebra:

 

Die komplexe Konjugation auf dem Faktor   des Tensorproduktes entspricht einer Involution   der Matrizenalgebra. Die Invarianten von  , d. s. die von   fix gelassenen Elemente   mit  , bilden eine zu   isomorphe Algebra. Zur oben angegebenen Matrixdarstellung der Quaternionen als komplexe Matrizen passt die Involution

    mit     .

Die Tatsache, dass die Brauergruppe von   nur aus zwei Elementen besteht, spiegelt sich auch darin wider, dass

 

ist.

Allgemein bezeichnet man jede vierdimensionale zentraleinfache Algebra über einem Körper als eine Quaternionenalgebra.

Die Quaternionen sind die Clifford-Algebra zum Raum   mit einer negativ-definiten symmetrischen Bilinearform.

Andere Grundkörper

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Quaternionen über den rationalen Zahlen

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Bei allen obigen Arten der Konstruktion spielt die Vollständigkeit des Koeffizientenvorrats keine Rolle. Deshalb kann man (anstatt von den reellen Zahlen   über   zu  ) auch von anderen Grundkörpern, z. B. den rationalen Zahlen  , ausgehen, um via gaußscher Zahlen   bei den Quaternionen mit rationalen Koeffizienten

 

anzukommen mit formal denselben Rechenregeln. Danach kann, falls überhaupt erforderlich, die Vervollständigung für die Betragsmetrik durchgeführt werden mit einem Endergebnis isomorph zu  .

Insofern können bei vielen Aussagen   durch  ,   durch   und   durch   ersetzt werden.

Da es nach dem Satz von Wedderburn keinen endlichen Schiefkörper mit nicht-kommutativer Multiplikation gibt und die Dimension des Vektorraums   über seinem Primkörper und Zentrum   mit   minimal ist, gehört   als abzählbare Menge zu den „kleinsten“ Schiefkörpern mit nicht-kommutativer Multiplikation – auf jeden Fall enthält   keinen kleineren.

Der Schiefkörper   besitzt einen sogenannten Ganzheitsring, d. h. eine Untermenge von Zahlen, genannt Hurwitzquaternionen, die einen Ring bilden und   zum Quotientenkörper haben, ganz ähnlich, wie es sich bei den ganzen Zahlen   und ihrem Quotientenkörper   verhält. In einem solchen Ring lassen sich bspw. Approximationsfragen, Teilbarkeitsfragen u. Ä. untersuchen.

Weitere Grundkörper

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Auch Körper   eignen sich als Ausgangspunkt zur Bildung nicht-kommutativer Erweiterungskörper nach Art der Quaternionen. Wichtig ist, dass in   die Summe aus vier Quadraten   nur für   verschwindet. Dann gibt es auch kein   mit   und   ist eine echte quadratische Erweiterung, die eine Konjugation definiert. Diese Bedingungen sind z. B. bei allen formal reellen Körpern erfüllt.

Aber auch bei Körpern, die nicht angeordnet werden können, kann die obige Bedingung betreffend die Summe aus vier Quadraten erfüllt sein, bspw. im Körper   der 2-adischen Zahlen. Der so über   gebildete Quaternionenkörper ist isomorph zur Vervollständigung des (oben beschriebenen) Körpers   der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten für die folgende (nichtarchimedische diskrete) Bewertung   , dem 2-Exponenten der Norm,

 

mit   . Die Primzahl   ist die einzige, für die die Quaternionen-Algebra über   nullteilerfrei und ein Schiefkörper ist.

Anwendungen

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Eulerscher Vier-Quadrate-Satz

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Die Identität, die aus dem Produkt zweier Summen von vier Quadraten

 
 
 
 
 

wieder eine Summe von vier Quadraten macht, gilt universell – einschließlich aller Varianten, die durch Vorzeichenspiel und Permutation entstehen – in jedem Polynomring   über einem kommutativen unitären Ring   und kann im Nachhinein als „Abfallprodukt“ der Multiplikativität des quaternionischen Betrags angesehen werden. Ihre Entdeckung 1748, also lange vor der Quaternionenzeit, geht jedoch auf Leonhard Euler zurück, der mit ihrer Hilfe den 1770 erstmals erbrachten Beweis von Joseph-Louis Lagrange für den lange vermuteten Vier-Quadrate-Satz wesentlich vereinfachen konnte. (Anmerkung: Die algebraisch beweisbaren bilinearen 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten sind die Grundlagen der Kompositionsalgebren, nämlich der komplexen Zahlen, der Quaternionen, und der Oktonionen. Diese letzteren sind sozusagen die „Quadratwurzeln“ aus den ersteren. Alles, was somit korrekt mit Quaternionen berechnet wird, steht bocksteif auf elementaren algebraischen Identitäten. Wie Adolf Hurwitz 1898 bewies,[40] gibt es außer den erwähnten 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten keine weiteren bilinearen n-Quadrate-Identitäten mehr.)

Informatik und Ingenieurwissenschaften

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Die Darstellung von Drehungen mithilfe von Quaternionen wird im Bereich der interaktiven Computergrafik genutzt, insbesondere bei Computerspielen, sowie bei der Steuerung von Satelliten. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von Drehmatrizen werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere wenn viele Drehungen miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des Weiteren werden Quaternionen, neben den Eulerwinkeln, zur Programmierung von Industrierobotern (z. B. ABB) genutzt.

Geschichte

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Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo William Rowan Hamilton die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte.

William Rowan Hamilton hatte 1835 die Konstruktion der komplexen Zahlen als Zahlenpaare angegeben. Dadurch motiviert, suchte er lange nach einer entsprechenden Struktur auf dem Raum   der Zahlentripel; heute weiß man, dass keine derartige Struktur existiert. 1843 schließlich gelangte er zu der Erkenntnis, dass es möglich ist, eine Multiplikation auf der Menge der 4-Tupel zu konstruieren, wenn man dazu bereit ist, die Kommutativität aufzugeben. In einem Brief an seinen Sohn gibt er als Datum den 16. Oktober 1843 an und berichtet, er habe sich spontan dazu hinreißen lassen, die Multiplikationsregeln in einen Stein an der Brougham Bridge (heute Broombridge Road) in Dublin zu ritzen; später wurde dort eine Gedenktafel angebracht. Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den Vier-Quadrate-Satz bereits bei Leonhard Euler (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von Hermann Graßmann untersucht (1855).

Schon kurz nach der Entdeckung der Quaternionen fand Hamilton die Darstellung von Drehungen des Raumes mithilfe von Quaternionen und damit eine erste Bestätigung der Bedeutung der neuen Struktur; Arthur Cayley entdeckte 1855 die entsprechenden Aussagen über orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes. Die bloße Parametrisierung der  -Drehmatrizen war hingegen schon Euler bekannt. Cayley gab 1858 in der Arbeit, in der er Matrizen einführte, auch die Möglichkeit der Darstellung von Quaternionen durch komplexe  -Matrizen an.

Hamilton widmete sich fortan ausschließlich dem Studium der Quaternionen; sie wurden in Dublin ein eigenes Examensfach. In seiner Nachfolge wurde 1895 sogar ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gegründet. Der deutsche Mathematiker Felix Klein schreibt rückblickend über diese anfängliche Euphorie:

„Wie ich schon andeutete, schloß sich Hamilton eine Schule an, die ihren Meister an Starrheit und Intoleranz noch überbot. […] Die Quaternionen sind gut und brauchbar an ihrem Platze; sie reichen aber in ihrer Bedeutung an die gewöhnlichen komplexen Zahlen nicht heran. […] Die Leichtigkeit und Eleganz, mit der sich hier die weittragendsten Theoreme ergeben, ist in der Tat überraschend, und es läßt sich wohl von hier aus die alles andere ablehnende Begeisterung der Quaternionisten für ihr System begreifen, die […] nun bald über vernünftige Grenzen hinauswuchs, in einer weder der Mathematik als Ganzem noch der Quaternionentheorie selbst förderlichen Weise. […] Die Verfolgung des angegebenen Weges – der neu sein will, obwohl er tatsächlich nur eine peinlich genaue Übertragung längst bekannter Gedanken auf ein einziges neues Objekt, also durchaus keine geniale Konzeption bedeutet – führt zu allerhand Erweiterungen der bekannten Sätze, die in ihrer Allgemeinheit das Hauptcharakteristikum verlieren und gegenstandslos werden, allenfalls zu Besonderheiten, die ein gewisses Vergnügen gewähren mögen.“

Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert[41]

Verwandte Themen

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Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Begriff „hyperkomplexe Zahlen“ zusammengefasst. Beispielsweise sind die Cayley-Zahlen oder Oktaven ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen; ihre Multiplikation ist allerdings weder kommutativ noch assoziativ.

Literatur

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Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 7. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1, S. 30.
  2. Bei Gauß findet sich eine Notiz über die Multiplikation und Konjugation von Quadrupeln im Kapitel Mutation des Raumes. In: Carl Friedrich Gauß: Werke. Achter Band. König. Gesell. Wissen., Göttingen 1900, S. 357–361, die auf das Jahr 1819 datiert wird. Die Unterschiede zu Hamilton gehen nicht über notationelle Konventionen hinaus. (Zitiert nach Lam S. 25).
  3. Lam S. 1
  4. Karsten Kunze, Helmut Schaeben: The Bingham Distribution of Quaternions und Its Spherical Radon Transform in Texture Analysis. In: Mathematical Geology. 8. Jahrgang, November 2004, S. 917–943, doi:10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59.
  5. Sie ist nicht mit dem Skalarprodukt zu verwechseln.
  6. die wegen der fehlenden Kommutativität in der Multiplikation nicht automatisch auf eines reduziert werden können.
  7. NB:   wird bei Bedarf genauso als Spaltenvektor eingesetzt.
  8. Brian L. Stevens, Frank L. Lewis, Eric N. Johnson: Aircraft control and simulation : dynamics, controls design, and autonomous systems. Third edition Auflage. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey 2016, ISBN 978-1-118-87098-3, S. 46.
  9. Reelle Faktoren kommutieren mit   und damit mit allen Quaternionen, d. h., es gilt beispielsweise
     ,
    aber
     .
    Nicht alle aus der elementaren Algebra bekannten Rechenregeln gelten für die Quaternionen, z. B. gilt
     .
    Die binomischen Formeln   oder   sind hier also nicht anwendbar. Sie setzen voraus, dass   gilt.
  10. Im Komplexen gilt dagegen
     
    mit Abspaltung der imaginären Einheit   von der rein-imaginären Komponente, so dass der Imaginärteil eine reelle Zahl ist. Und es gilt:
     
  11. Und damit auch Betrag und die Teilmenge der reellen Zahlen. Bei den komplexen Zahlen gilt das nicht (s. a. Komplexe Zahl#Körpertheorie und algebraische Geometrie).
  12. Viele Autoren setzen jedoch Norm dem Betrag gleich.
  13. Den unendlich vielen Nullstellen des Polynoms   steht das Fehlen einer Nullstelle beim Polynom   vom Grad 1 gegenüber. Letzteres besitzt 2 Monome vom Grad 1, dem höchsten Grad seiner Monome. In nicht-kommutativen Ringen wird der Grad des Monoms   mit   zu   definiert, und ein Monom dominiert ein Polynom, wenn es unter allen Monomen den höchsten Grad hat. Dann ist der Grad des Polynoms auch gleich dem Grad der dominierenden Monome. Hat ein Polynom über   ein einziges dominierendes Monom von einem Grad > 0, dann hat es immer eine Nullstelle in  . (Eilenberg-Niven).
  14. a b c John H. Conway, Derek A. Smith: On Quaternions and Octonions. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch).
  15. Ein Automorphismus definiert eine solche Einbettung (durch Einschränkung), die nur eine Einbettung von  -Algebren ist.   ist keine Algebra über  .
  16. Tsit Yuen Lam (Berkeley): Hamilton’s Quaternions (PostScript, englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22. Der Polarwinkel ist das Analogon zum komplexen Argument  , allerdings ist bei dessen Hauptwert das Signum des Imaginärteils mit hinein genommen, was sich bei den Quaternionen nicht machen lässt, so dass   nicht eine einfache Einschränkung des Polarwinkels ist.
  17. a b Für   und   ist
     
     .
  18. Laut Tsit Yuen Lam (Berkeley): Hamilton’s Quaternions (PostScript, englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 22 mag das Scheitern dieser Funktionalgleichung das größte Hindernis für eine quaternionische Funktionentheorie gewesen sein.
  19. Lce.hut.fi (Memento vom 26. September 2013 im Internet Archive) (PDF; 68 kB)
  20. Die Überlegungen gelten schon, wenn der Definitionsbereich von   ein Gebiet ist.
  21. Letzteres ist aber nicht hinreichend, denn die Funktion   ist trotz   wegen   nicht einbettbar.
    Sind jedoch bei solchen Funktionen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt, so folgt aus der Ungeradheit von   die Geradheit von   (jeweils in der zweiten Variablen) und damit die Einbettbarkeit in die Quaternionen.
    Im Gegensatz zu   ist die Funktion   einbettbar mit der Fortsetzung  
  22. Ein weiteres nicht einbettbares Beispiel ist  , bei dem   nicht ungerade ist in  . Die Einbettung mithilfe des Einbettungsisomorphismus   ergibt zwar die (konstante) Funktion  , die aber mit anderen Einbettungen, z. B.   mit dem (ebenfalls konstanten) Ergebnis   nicht zusammenpasst.
  23. Quaternion Analysis, Functions of a Quaternion Variable (englisch).
  24. R. Fueter: Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen. In: Comm. Math. Helv. 8. Jahrgang, 1936, S. 371–378.
  25. C.A. Deavours: The Quaternion Calculus. In: Amer. Math. Monthly. 80. Jahrgang, 1973, S. 995–1008.
  26. A. Sudbery: Quaternionic Analysis. In: Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 85. Jahrgang, 1979, S. 199–225, doi:10.1017/S0305004100055638.
  27. Zu   siehe Orthogonale Gruppe#Räumliche Drehung.
  28. Wie im referenzierten Abschnitt und im Abschnitt #Automorphismen bemerkt, gibt es zu jedem fixen Dreibein   sehr viele verschiedene Einbettungen dieser endlichen Untergruppen in  .
  29. Diese Gruppen firmieren – besonders in der englischen Literatur – auch als binäre Erweiterung   der Polyedergruppe  , und die binären Diedergruppen   zusätzlich als verallgemeinerte Quaternionengruppen, auch als dizyklische Gruppen, in Zeichen  .
  30. a b c Gabor Gévay: On Perfect 4-Polytopes (PDF; 211 kB) Contributions to Algebra and Geometry Volume 43 (2002), No. 1, 243–259: gibt auf S. 256 die 4-Polytope » « für die   bzw. auf S. 252 Table 2 das 4-Polytop » « für  .
  31. Tsit Yuen Lam (Berkeley): Hamilton’s Quaternions (PostScript, englisch). Abgerufen am 30. August 2009, Seite 24
  32. Eric W. Weisstein: Antihomomorphism. In: MathWorld (englisch).
  33. ein  -Vektorraum, der aber weder  -Ideal noch  -Vektorraum ist, da    
  34. Die Matrizen   sind spurfrei und schiefhermitesch.
  35. Nur Matrixringe der Dimensionen 1, 2 und 4 über   sind nullteilerfrei (siehe auch #Die Quaternionen als Algebra).
  36. Diese Möglichkeiten entsprechen der Vorschaltung eines Automorphismus.
  37. Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren), Korollar 6.8 in Kapitel IX von Hungerford: Algebra (Springer 1974).
  38. Satz von Hurwitz (normierte Divisionsalgebren).
  39. Satz von Pontrjagin (1931) in Pontrjagin: Jeder lokalkompakte, zusammenhängende topologische Schiefkörper ist entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen oder der Schiefkörper der Quaternionen.
  40. Adolf Hurwitz: Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse (1898), Heft 3. 9. Juli 1898, S. 309–316, abgerufen am 23. Januar 2023.
  41. Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Teil I. Verlag von Julius Springer, Berlin 1926, S. 184 ff.