In der Gruppentheorie ist die Quaternionengruppe eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung . Sie wird häufig mit dem Symbol bezeichnet. Ihren Namen erhält sie daher, dass sie aus den acht Elementen im Schiefkörper der Hamiltonschen Quaternionen besteht.

Definition

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Die Quaternionengruppe ist die achtelementige Menge   mit der Verknüpfung  , die neben den üblichen Vorzeichenregeln die folgenden Relationen erfüllt:

 .

Diese Regeln wurden von William Rowan Hamilton gefunden.[1] Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:

                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 

Die Gruppenaxiome

  1. Existenz des neutralen Elements
  2. Existenz des inversen Elements
  3. Assoziativität

sind leicht nachgeprüft.

Eigenschaften

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Die Quaternionengruppe   ist nicht abelsch, da beispielsweise   gilt. Sie und die Diedergruppe   sind bis auf Isomorphie die beiden einzigen nicht-abelschen Gruppen mit acht Elementen.

Die Gruppe   ist zudem eine hamiltonsche Gruppe: sie ist zwar nicht-abelsch, aber dennoch ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Jede hamiltonsche Gruppe hat eine zu   isomorphe Untergruppe.

Der Schiefkörper   der Hamiltonschen Quaternionen besteht aus dem reellen Vektorraum mit Basis   und der Multiplikation, die die obige Multiplikationstabelle bilinear fortsetzt.[2] Umgekehrt kann man ausgehend vom Schiefkörper   die Quaternionengruppe als die von den Elementen   gebildete Untergruppe definieren.

Man kann   auch als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe   darstellen durch die Matrizen   und   und  .

Eine Anwendung der Quaternionengruppe ergibt sich in der synthetischen Geometrie. Dort dienen Quasikörper als Koordinatenbereiche einer affinen oder projektiven Ebene und es zeigt sich, dass einer der kleinsten Quasikörper, der kein Schiefkörper ist und über dem sich daher nichtdesarguesche Ebenen ergeben, eine zu   isomorphe multiplikative Gruppe hat. → siehe Ternärkörper.

Automorphismen

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Als Automorphismus (hier von  ) gilt eine bijektive Abbildung  , bei der die Multiplikation homomorph behandelt wird, d. h.

 .

Da die Ordnung von Gruppenelementen hierbei erhalten bleibt, müssen   als einzige Elemente mit Ordnung 1 bzw. 2 festbleiben. Dagegen können die 3 imaginären Einheiten   jeweils in eine andere überführt werden. Genauer: die erste, sagen wir  , hat alle 6 Ecken   dieses Oktaeders zur Auswahl, das Negative dieses Werts muss dann dem „Antipoden“   zugeteilt werden. Bleiben für die zweite, sagen wir  , noch 4 Ecken. Danach sind die restlichen Zuordnungen festgelegt: Antipode   wie auch   wegen   (diese Orientierung verbietet die Spiegelungen s. u.) und dessen Antipode  . Es gibt also 6·4 = 24 Automorphismen, die in eineindeutiger Korrespondenz zu den Drehungen des besagten Oktaeders stehen. Somit ist die Automorphismengruppe   isomorph zur Drehgruppe des Oktaeders, die wiederum zur symmetrischen Gruppe S4 isomorph ist.

Eine elegante Realisierung von   im Kontext der Quaternionen findet sich in Hurwitzquaternionen.

Die inneren Automorphismen von   werden durch die   modulo dem Zentrum   vermöge   vermittelt. Sie bilden die Gruppe   isomorph zu  , die zur kleinschen Vierergruppe V isomorph ist.

Die Konjugation als Spiegelung an der reellen Achse, die hier gleichzeitig die Inversionsabbildung darstellt, ist antihomomorph,[3] das heißt

      und auch      ,

und wird deshalb als involutiver Antiautomorphismus bezeichnet.

Charaktertafel

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Die Quaternionengruppe hat folgende Charaktertafel:

           
         
           
           
           
           
           

Die Diedergruppe D4 hat dieselbe Charaktertafel ohne zur Quaternionengruppe isomorph zu sein. Damit ist die Quaternionengruppe ein Beispiel dafür, dass sich eine Gruppe nicht aus ihrer Charaktertafel rekonstruieren lässt.[4]

Dizyklische Gruppen und verallgemeinerte Quaternionengruppen

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Die Quaternionengruppe   lässt sich wie folgt durch Erzeuger und Relationen präsentieren:

 .

In obiger Schreibweise gilt   und  .

Die Quaternionengruppe ist daher eine sogenannte dizyklische Gruppe. Die dizyklische Gruppe der Ordnung   für   erhält man durch folgende Präsentation über Erzeuger und Relationen:

 .[5][6]

Die dizyklischen Gruppen, deren Ordnung eine Zweierpotenz ist, heißen verallgemeinerte Quaternionengruppen.[7]

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. William Rowan Hamilton: Einritzung in einen Stein der Broom (auch: Brougham) Bridge. Dublin 1843.
  2. Hans-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen. In: Grundwissen Mathematik, Band 1. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York / Tokio 1983, ISBN 3-540-12666-X, S. 138–154.
  3. Eric W. Weisstein: Antihomomorphism. In: MathWorld (englisch).
  4. J. L. Alperin, R.B. Bell: Groups and Representations. Springer-Verlag, (1995), ISBN 0-387-94525-3, Kap. 6, Beispiel 8
  5. Steven Roman: Fundamentals of group theory. Birkhäuser, Basel 2012, Kapitel 12, S. 347/348.
  6. Thomas Keilen: Endliche Gruppen. (PDF) Beispiel 9.11, S. 37.
  7. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer, Berlin 1967, Kapitel I, § 14, Satz 14.9, S. 91.