Die dizyklischen Gruppen sind spezielle endliche Gruppen, die sich als Erweiterung zyklischer Gruppen ergeben. Es handelt sich dabei um eine Folge von Gruppen der Ordnung , Dic steht dabei für die englische Bezeichnung dicyclic group.

Konstruktion der Gruppe

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Wir gehen aus von einer zyklischen Gruppe  , die wir als multiplikative Untergruppe in   realisieren, d. h.

 

Die Gruppe wird von   erzeugt und es ist

 

Wir betrachten hier die gerade Gruppenordnung  , damit   ist. Indem wir die komplexen Zahlen   als Unteralgebra der Quaternionen   auffassen, ist   auch eine multiplikative Untergruppe des vierdimensionalen Raums  . Wir wollen   als weiteres Element zur Gruppe hinzunehmen und definieren daher

  von   erzeugte multiplikative Untergruppe von  .

Da   ist

 ,

und man kann zeigen, dass

 

Dazu rechnet man zunächst   und damit  ; aus dieser Formel ergibt sich sofort, dass   tatsächlich nur die angegebenen   Elemente enthält.[1]

Da die Elemente   genauso wie die   ebenfalls ein regelmäßiges 2n-Eck aufspannen, nennt man diese Gruppe dizyklisch, eine Bezeichnung, die auf G. A. Miller zurückgeht.[2]

Die dizyklische Gruppe als Erweiterung

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Man kann die dizyklische Gruppe als Erweiterung zweier zyklischer Gruppen schreiben:

 .

Dabei ist   die Inklusionsabbildung und  . Offenbar liegt hier eine kurze exakte Sequenz vor.

Präsentation der dizyklischen Gruppen

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Mit obigen Bezeichnungen bestehen offenbar die Gleichungen  . Das genügt bereits, die dizyklischen Gruppen zu beschreiben, denn die dizyklische Gruppe der Ordnung   für   erhält man durch folgende Präsentation über Erzeuger und Relationen[3]:

 .

Dicn für kleine n

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ist eine zur zyklischen Vierergruppe   isomorphe Gruppe.

 

ist eine zur Quaternionengruppe isomorphe Gruppe.

 

ist eine 12-elementige Gruppe mit folgender Verknüpfungstafel:

  1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2b a3b a4b a5b
1 1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2b a3b a4b a5b
a a a2 a3 a4 a5 1 ab a2b a3b a4b a5b b
a2 a2 a3 a4 a5 1 a a2b a3b a4b a5b b ab
a3 a3 a4 a5 1 a a2 a3b a4b a5b b ab a2b
a4 a4 a5 1 a a2 a3 a4b a5b b ab a2b a3b
a5 a5 1 a a2 a3 a4 a5b b ab a2b a3b a4b
b b a5b a4b a3b a2b ab a3 a2 a 1 a5 a4
ab ab b a5b a4b a3b a2b a4 a3 a2 a 1 a5
a2b a2b ab b a5b a4b a3b a5 a4 a3 a2 a 1
a3b a3b a2b ab b a5b a4b 1 a5 a4 a3 a2 a
a4b a4b a3b a2b ab b a5b a 1 a5 a4 a3 a2
a5b a5b a4b a3b a2b ab b a2 a 1 a5 a4 a3

Hier ist   und  . Da  , kann man auf die Potenzen   verzichten und stattdessen mit einem Vorzeichen arbeiten, wie wir es bei   mit   und   bereits getan hatten. Es ist dann  

Einzelnachweise

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  1. H. S. M. Coxeter: Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press (1974), Kapitel 7.1 The Cyclic and Dicyclic groups = 74–75
  2. G. A. Miller, H. F. Blichfeldt, L. E. Dickson: Theory and application of finite groups, New York, Wiley 1916, Nachdruck Dover (1961)
  3. Steven Roman: Fundamentals of group theory. Kapitel 12, Seite 347/348, Birkhäuser, Basel (2012)