Dizyklische Gruppe

Die dizyklischen Gruppen sind spezielle endliche Gruppen, die sich als Erweiterung zyklischer Gruppen ergeben. Es handelt sich dabei um eine Folge von Gruppen $\mathrm {Dic} _{n}$ der Ordnung $4n$, Dic steht dabei für die englische Bezeichnung dicyclic group.

Konstruktion der Gruppe

Wir gehen aus von einer zyklischen Gruppe $C_{2n}$, die wir als multiplikative Untergruppe in $\mathbb {C}$ realisieren, d. h.

$C_{2n}=\{\exp(\nu \pi i/n)\mid \nu =0,\ldots ,2n-1\}$

Die Gruppe wird von $a:=\exp(\pi i/n)$ erzeugt und es ist

$a^{\nu }=\exp(\nu \pi i/n)=\cos(\nu \pi /n)+i\sin(\nu \pi /n)$

Wir betrachten hier die gerade Gruppenordnung $2n$, damit $-1=a^{n}\in C_{2n}$ ist. Indem wir die komplexen Zahlen $\mathbb {C} =\mathbb {R} +i\mathbb {R}$ als Unteralgebra der Quaternionen $\mathbb {H} =\mathbb {R} +i\mathbb {R} +j\mathbb {R} +k\mathbb {R}$ auffassen, ist $C_{2n}$ auch eine multiplikative Untergruppe des vierdimensionalen Raums $\mathbb {H}$. Wir wollen $b:=j$ als weiteres Element zur Gruppe hinzunehmen und definieren daher

$\mathrm {Dic} _{n}:=$ von $\{a,b\}$ erzeugte multiplikative Untergruppe von $\mathbb {H}$.

Da $i\cdot j=k$ ist

$a^{\nu }b=j\cos(\nu \pi /n)+k\sin(\nu \pi /n)$,

und man kann zeigen, dass

$\mathrm {Dic} _{n}=\{a^{\nu },a^{\nu }b\mid \nu =0,\ldots ,2n-1\}$

Dazu rechnet man zunächst $(ab)^{2}=-1$ und damit $ba=a^{-1}b=a^{2n-1}b$; aus dieser Formel ergibt sich sofort, dass $\mathrm {Dic} _{n}$ tatsächlich nur die angegebenen $4n$ Elemente enthält.

Da die Elemente $a^{\nu }b$ genauso wie die $a^{\nu }$ ebenfalls ein regelmäßiges 2n-Eck aufspannen, nennt man diese Gruppe dizyklisch, eine Bezeichnung, die auf G. A. Miller zurückgeht.

Die dizyklische Gruppe als Erweiterung

Man kann die dizyklische Gruppe als Erweiterung zweier zyklischer Gruppen schreiben:

$0\rightarrow C_{2n}\,{\xrightarrow {\iota }}\,\mathrm {Dic_{n}} \,{\xrightarrow {p}}\,C_{2}\rightarrow 0$.

Dabei ist $\iota$ die Inklusionsabbildung und $p(a^{\nu })=1,\,p(a^{\nu }b)=-1$. Offenbar liegt hier eine kurze exakte Sequenz vor.

Präsentation der dizyklischen Gruppen

Mit obigen Bezeichnungen bestehen offenbar die Gleichungen $a^{2n}=1,\quad a^{n}=-1=b^{2},\quad ba=a^{-1}b$. Das genügt bereits, die dizyklischen Gruppen zu beschreiben, denn die dizyklische Gruppe der Ordnung $4n$ für $n\geq 2$ erhält man durch folgende Präsentation über Erzeuger und Relationen:

$\left\langle x,y\mid x^{2n}=1,x^{n}=y^{2},yx=x^{-1}y\right\rangle$.

Dic_n für kleine n

$\mathrm {Dic} _{1}=\{1,-1,j,-j\}$

ist eine zur zyklischen Vierergruppe $C_{4}$ isomorphe Gruppe.

$\mathrm {Dic} _{2}=\{1,i,-1,-i,j,ij,-j,-ij\}$

ist eine zur Quaternionengruppe isomorphe Gruppe.

$\mathrm {Dic} _{3}=\{1,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},b,ab,a^{2}b,a^{3}b,a^{4}b,a^{5}b\}$

ist eine 12-elementige Gruppe mit folgender Verknüpfungstafel:

$\cdot$	1	a	a2	a3	a4	a5	b	ab	a2b	a3b	a4b	a5b
1	1	a	a2	a3	a4	a5	b	ab	a2b	a3b	a4b	a5b
a	a	a2	a3	a4	a5	1	ab	a2b	a3b	a4b	a5b	b
a2	a2	a3	a4	a5	1	a	a2b	a3b	a4b	a5b	b	ab
a3	a3	a4	a5	1	a	a2	a3b	a4b	a5b	b	ab	a2b
a4	a4	a5	1	a	a2	a3	a4b	a5b	b	ab	a2b	a3b
a5	a5	1	a	a2	a3	a4	a5b	b	ab	a2b	a3b	a4b
b	b	a5b	a4b	a3b	a2b	ab	a3	a2	a	1	a5	a4
ab	ab	b	a5b	a4b	a3b	a2b	a4	a3	a2	a	1	a5
a2b	a2b	ab	b	a5b	a4b	a3b	a5	a4	a3	a2	a	1
a3b	a3b	a2b	ab	b	a5b	a4b	1	a5	a4	a3	a2	a
a4b	a4b	a3b	a2b	ab	b	a5b	a	1	a5	a4	a3	a2
a5b	a5b	a4b	a3b	a2b	ab	b	a2	a	1	a5	a4	a3

Hier ist $\textstyle a={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ und $b=j$. Da $a^{3}=-1$, kann man auf die Potenzen $a^{3},a^{4},a^{5}$ verzichten und stattdessen mit einem Vorzeichen arbeiten, wie wir es bei $\mathrm {Dic} _{2}$ mit $a=i$ und $b=j$ bereits getan hatten. Es ist dann $\mathrm {Dic} _{3}=\{1,a,a^{2},-1,-a,-a^{2},b,ab,a^{2}b,-b,-ab,-a^{2}b\}$