p-adische Zahl

Zahl, die sich in einer Potenzreihe zu einer Primzahl darstellen lässt

Für jede Primzahl bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper des Körpers der rationalen Zahlen; sie wurden 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, oftmals unter Verwendung des Lokal-Global-Prinzips von Helmut Hasse, das – vereinfacht gesprochen – aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den reellen Zahlen und über allen gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist vollständig und erlaubt so die Entwicklung einer -adischen Analysis analog zur reellen Analysis.

Motivation

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Ist   eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede ganze Zahl in einer  -adischen Entwicklung der Form

 

geschrieben werden (man sagt, die Zahl wird zur Basis   notiert, siehe auch Stellenwertsystem), wobei die  -Ziffern   aus   sind. So ist etwa die 2-adische Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man:

 

Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung auf unendliche Summen am unteren Ende, d. h. in der folgenden Form:

  (0)

Diese Reihen sind konvergent bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrags. Zum Beispiel ist  [1] die 5-adische Darstellung von   zur Basis  . In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die   für alle   gilt.

Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form

  (1)

erzeugen, wobei   eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper   der  -adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen)  -adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen  -adischen Zahlen, für die   für alle   gilt, heißen ganze  -adische Zahlen. Analog zur gewöhnlichen  -adischen Entwicklung kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:

 [1]

Bemerkungen

  1. Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden.
  2. Die endlichen Symbolfolgen bilden einen Ring, und zwar den Unterring   von   (Dazu muss   nicht Primzahl sein, es genügt, dass   ist.)
      liegt (wie   selbst) dicht sowohl in   wie in  , d. h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus   approximieren.
  3. Wird von  -adischen Zahlen oder von einer  -adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung (1) gemeint.[2] Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) links vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel);[1] mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.
    Wird dagegen von einer  -adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung (0) nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei   als dek-adisch, bei   als tri-adisch, bei   als dy-adisch. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis   als Suffix (Index) irgendwo rechts vom Komma angegeben wird.

Die gewöhnliche  -adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von  , und die  -adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren  -Potenzen (mit positiven Exponenten).[3]

Mit diesen formalen Laurent-Reihen in   kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen  -adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, Multiplikation nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von   und   die Zahl  . Ein Vorzeichen wird nicht gebraucht, da auch alle additiv Inversen – negative Zahlen gibt es nicht – eine  -adische Darstellung (1) haben.

Des Weiteren lässt sich die Subtraktion nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei  ).

Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht.

Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d. h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt.

Konstruktion

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Analytische Konstruktion

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Die reellen Zahlen können als Vervollständigung der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl   als   oder als   zu schreiben, da   in   gilt.

Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten Metrik ab, und für eine andere als die übliche euklidische (archimedische) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen.

p-adischer Betrag

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Für eine fest vorgegebene Primzahl   definiert man den p-adischen Betrag auf  : Jede rationale Zahl   lässt sich in der Form   schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl   und zwei natürlichen Zahlen   und  , die beide nicht durch   teilbar sind. Der  -adische Betrag wird dann definiert als

  und  .

Dies ist ein nichtarchimedischer Betrag.

Zum Beispiel gilt für  :

 
  für jede andere Primzahl  

Im Sinne dieses Betrags   sind große Potenzen von   betragsmäßig klein. Damit wird auf den  -adischen Zahlen ein diskreter Bewertungsring definiert.

Exponentenbewertung

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Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes   wählt man den Exponenten  . Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so:

  1.   für  .
  2.  .[4]
  3.  .
  4.   .

Man spricht von einer Exponentenbewertung, manchmal auch p-Bewertung, und von einem exponentiell bewerteten Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der verschärften Dreiecksungleichung eine Addition der Werte   nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.[2]

Häufig normiert man so, dass   ist für das Primelement  .[5]

p-adische Metrik

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Die p-adische Metrik   auf   definiert man über den Betrag:[6]

 

Damit ist beispielsweise die Folge   in   bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge   zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes   gilt:

 

Die Vervollständigung des metrischen Raums   ist der metrische Raum   der  -adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen  -adischen Abstände eine Nullfolge ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem   enthalten ist.

Da die so definierte Metrik eine Ultrametrik ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form

 

sofort als konvergent zu erkennen, falls   eine ganze Zahl ist und die   in   liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von   als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit  ) darstellen lässt.

Algebraische Konstruktion

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Hier wird zuerst der Ring   der ganzen  -adischen Zahlen definiert, und danach dessen Quotientenkörper  .

Wir definieren   als projektiven Limes

 

der Restklassenringe  : Eine ganze  -adische Zahl ist eine Folge   von Restklassen aus  , die die Verträglichkeitsbedingung (des projektiven Limes)

 

erfüllen. Für jede ganze Zahl   ist die (stationäre) Folge   ein Element von  .[7] Wird   auf diese Weise in   eingebettet, dann liegt   dicht in  .

Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind wohldefiniert, da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede  -adische ganze Zahl   die additive Inverse  ; und jede Zahl, deren erste Komponente     nicht     ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle   zu   teilerfremd, haben also ein Inverses   modulo  , und die Folge   (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu  .

Jede  -adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form (1) dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge   mithilfe der Partialsummen

 

gebildet. Zum Beispiel kann man die  -adische Folge   auch als

 

schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als  .

Der Ring   der ganzen  -adischen Zahlen ist nullteilerfrei, deshalb können wir den Quotientenkörper bilden und erhalten   den Körper der  -adischen Zahlen. Jedes von   verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form   darstellen, wobei   eine ganze Zahl und   eine Einheit in   ist. Diese Darstellung ist (ein)eindeutig.

Ferner gilt  

Einheiten

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Die Menge der Einheiten wird häufig mit

 

bezeichnet und die Menge der Einseinheiten mit

 

Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt

 

mit   als dem Zeichen für den endlichen Körper mit   Elementen (Restklassenkörper) und   als dem Zeichen für das direkte Produkt.

Algorithmus für rationale Zahlen

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Wie in einem Stellenwertsystem haben die rationalen Zahlen periodische  -adische Darstellungen und umgekehrt sind die Werte periodischer Darstellungen rationale Zahlen.

Der Algorithmus zur Berechnung der Ziffern einer rationalen Zahl in einem  -adischen System (1) ist sehr ähnlich dem entsprechenden Algorithmus in einem Stellenwertsystem (s. Stellenwertsystem#Algorithmus für rationale Zahlen). Dazu sei   der Zähler und   mit   der Nenner der rationalen Zahl.

function p_adic(p,u,v) // 0 < u < v; p prim und nicht Teiler von v
  local occurs;
begin
  Ziffernvorrat = "0123..."; // bis zum Zeichen mit dem Wert p-1
  s = "";  // die zu bildende Zeichenkette
  pos = 0; // hier sind alle Stellen links vom Komma
  while not defined(occurs[u]) do
    occurs[u] = pos;  // die Nummer der Stelle mit dem Rest u
    q = p*u;
    z = floor(q/v); // Index z der Ziffer im Vorrat: 0 ≤ z ≤ p-1
    u = q  z*v;    // u ganzzahlig: 0 ≤ u < v
    if u = 0 then l = 0; return (s); end if
    s = s.substring(Ziffernvorrat, z, 1);
          // Ziffer aus dem Ziffernvorrat dranhängen.
          // substring(s, 0, 1) ist die erste Ziffer nach dem Komma
    pos += 1;
  end while
  l = pos - occurs[u]; // die Periodenlänge (0 < l < v)
  // Markiere die Ziffern der Periode mit einem Überstrich:
  for i from occurs[u] to pos-1 do
    substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1));
  end for
  return (s);
end_proc

Die erste gelb hervorgehobene Zeile berechnet eine einzelne Ziffer.

Die darauf folgende Zeile berechnet den neuen Rest   der Division modulo des Nenners  . Die Gaußklammer floor bewirkt, dass

 

Daraus folgt   und   zusammengenommen   Da somit alle Reste   ganzzahlig nicht-negativ und kleiner als   sind, es also nur   viele verschiedene von ihnen gibt, müssen sie sich in der while-Schleife wiederholen. Die Wiederkehr eines Restes   wird über die Existenz des assoziativen Datenfeldes occurs[u] festgestellt.

Die Periode der Ziffern hat dieselbe Länge wie die Periode der Reste. Die Periodenlänge ist die Ordnung von   in der Gruppe  .

Wenn   ist, dann ist wegen  

 

und es gibt in diesem Fall keine Vorperiode. Um das Minuszeichen zu vermeiden sind die Ziffern zu invertieren, was auch schon in der dritten gelb unterlegten Zeile

    s = s.substring(Ziffernvorrat, p-1 - z, 1);

geschehen kann.

Eigenschaften

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  • Die Menge   der ganzen  -adischen Zahlen (und damit die Menge   der  -adischen Zahlen) ist überabzählbar. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also transzendente Zahlen in   gibt.
  • Die einzigen rationalen Zahlen  , die ganze  -adische Zahlen   für jede Primzahl   sind, sind die ganzen Zahlen  .
  •   ist ein vollständiger Körper.
  • Der Körper der  -adischen Zahlen   enthält   und hat deshalb Charakteristik  , kann aber nicht angeordnet werden.
  • Der topologische Raum   der ganzen  -adischen Zahlen ist ein total unzusammenhängender kompakter Raum, der Raum aller  -adischen Zahlen ist lokalkompakt und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide vollständig.
  • Die Primelemente von   sind genau die zur Zahl   assoziierten Elemente. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich   ist; dieser Betrag ist der größte in   vorkommende Betrag, der kleiner als   ist. Die Primelemente von endlichen Erweiterungen von   sind Teiler von  .
  •   ist ein lokaler Ring, genauer ein diskreter Bewertungsring. Sein maximales Ideal   wird von   (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt.
  • Der Restklassenkörper von   ist   der endliche Körper mit   Elementen.
  •   (und  ) enthält die  -ten Einheitswurzeln (s. henselsches Lemma). Für   sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu   Für   kommt noch die Einheitswurzel   hinzu.
  • Ist   eine primitive  -te Einheitswurzel in   dann ist   ein Monoid und für   als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in (1) verwendeten System   Zu jedem   gibt es   und   mit   und
     .
Alle Ergebnisse sind eindeutig,   ist dasselbe wie in (1).
  wird das System der Teichmüller-Repräsentanten genannt.
  • Die reellen Zahlen haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der komplexen Zahlen, der bereits durch Adjunktion einer Quadratwurzel ( ) entsteht und algebraisch abgeschlossen ist. Im Gegensatz dazu hat der algebraische Abschluss von   einen unendlichen Erweiterungsgrad.   hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen.
  • Die Metrik auf   lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper   der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper   ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des Auswahlaxioms isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik.

Unterschiede zu den archimedischen Systemen

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Abgesehen von der anderen Konvergenz der  -adischen Metrik gegenüber der unter „Stellenwertsystem“ beschriebenen archimedischen Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede:

  • Basen
    1. Die Basen der  -adischen Darstellung (1) sind allermeist Primzahlen oder wenigstens Primelemente. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.[8] Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise   vermieden und stattdessen   verwendet. Gleichwohl ist   ein Ring, wenn auch nicht ein Integritätsbereich.
      Sind   zwei verschiedene Primzahlen, dann ist  , obwohl  .[9]
    2. Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl   die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis.
  • Eindeutigkeit
    1. Die (kanonische)  -adische Darstellung einer Zahl in   als unendliche Summe (1) ist eineindeutig.
    2. Dagegen gibt es zu jeder Basis eines Stellenwertsystems der reellen Zahlen Brüche, für die es zwei Darstellungen als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen
             
      oder beim balanciert ternären
             .[10]
  • Die Darstellung von   im kanonischen Format (1) ist
           .
  • Da für alle Primzahlen   die Zahl   in   als Summe von Quadraten dargestellt werden kann, kann   nicht angeordnet werden.
    Demzufolge gibt es auch keine „negativen“  -adischen Zahlen, und ein Vorzeichen zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt.
Beispiele für die ersten 11 Primzahlen
  Radikand Quadratwurzel  -adisch Quadratsumme
2 −7    
 
3 −2    
5 −1    
7 −5    
11 −2    
13 −1    
17 −1    
19 −2    
23 −5    
29 −1    
31 −26    
 
47 −5    
59 −2    
67 −2    
71 −65    
Bemerkungen:
  1. Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln   sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht   sein – und keine periodische  -adische Entwicklung haben.
  2. Für   ist  
  3. Bei den Primzahlen   kommt man mit 2 Summanden aus.
  • Grundrechenarten
    1. Die Algorithmen z. B. für die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). Überträge wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.
      Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.
      Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.[11]
    2. Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.
      Will man jedoch (bspw. bei irrationalen Zahlen) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d. h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich.
  • Bewertungsring
    1. Eine nichtarchimedische Metrik   definiert zu jedem   eine Äquivalenzrelation
             .
      Für   und   erhält man so einen Bewertungsring, wie   einer ist, der für   immer wenigstens eines,   oder  , enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt.
    2. Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares.
  • Topologie
    1. Topologisch sind die   kompakt und total unzusammenhängend, die   lokal kompakt und total unzusammenhängend.
    2.   ist lokal kompakt und einfach zusammenhängend.

p-adische Funktionentheorie

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Die Potenzreihe

 

der Exponentialfunktion hat ihre Koeffizienten in  . Sie konvergiert für alle   mit  .[12] Dieser Konvergenzradius gilt für alle algebraischen Erweiterungen von   und deren Vervollständigungen, einschließlich  

Damit liegt   in   für alle  ; in   liegt  . Es gibt algebraische Erweiterungen von  , in denen die  -te Wurzel von   bzw. die vierte Wurzel von   liegt; diese Wurzeln könnte man als  -adische Entsprechungen der Eulerschen Zahl auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl   wenig zu tun.

Die Potenzreihe

 

für den Logarithmus konvergiert für  .[12]

In den Konvergenzgebieten gilt

 

und

 .

Dort gelten auch die aus der reellen und komplexen Analysis bekannten Funktionalgleichungen.[12]

Funktionen von   nach   mit Ableitung   sind konstant. Für Funktionen von   nach   gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion

  für  ,  

auf ganz   die Ableitung  , ist aber nicht einmal lokal konstant in  . Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in   ist

 .

Approximationssatz

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Sind   Elemente von  , dann gibt es eine Folge   in  , sodass für jedes   (einschließlich  )   der Grenzwert von   in   unter   ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.)

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. a b c Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das Komma auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also:   und   bzw.  .
  2. a b van der Waerden: Algebra, Zweiter Teil. Springer-Verlag, 1967, Bewertete Körper, S. 204 f.
  3. Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.
  4. Da jede Potenz von   die 0 teilt, ist wie üblich   für alle  .
  5. So normiert entspricht die Exponentenbewertung der Ordnung einer formalen Potenzreihe in   mit der Unbestimmten   als Primelement.
  6. Leutbecher, 1996, S. 118 f.
  7. Leutbecher, 1996, S. 117 f.
  8. Ein Beispiel ist in Proendliche Zahl#10-adische Zahlen angegeben.
    Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis   der Expansion (1) und der den Ring   definierenden Primzahl   unterscheiden. So kann bspw. im Ring   die Zahl   als Basis und die Menge   als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass   eine Einheit in   ist, also sowohl das Primelement   als Basis wie   als von   verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist
      mit
      also
     
    eine in   konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass
      oder
     
      ist.
  9. Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist  , aber   und die 2-adische Entwicklung ist
         ,
    wogegen die 5-adische
         
    ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem chinesischen Restsatz zu
         
    vereinigen. Weitere Primzahlen mit   sind   (siehe auch Gérard P. Michon: Solving algebraic equations).
  10. Baker, 2022, S. 26.
  11. Gérard P. Michon: Final Answers – p-adic Arithmetic – Elementary division of two p-adic numbers. In: numericana.com. 17. Februar 2006, abgerufen am 10. April 2024 (englisch).
  12. a b c Baker, 2022, S. 44 f., Theorem 4.33.