Vollständiger Körper

Körper, in dem Cauchyfolgen konvergieren

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein vollständiger Körper (auch vollständiger bewerteter Körper) ein bewerteter Körper, der mit der aus der Bewertung resultierenden Metrik ein vollständiger Raum ist.[1]

Standardbeispiel für einen vollständigen Körper ist , für einen unvollständigen Körper . In diesen beiden Körpern liefert der Absolutbetrag die Bewertung.

Für geordnete Körper hat man damit neben der Ordnungsvollständigkeit einen zweiten Vollständigkeitsbegriff (metrische Vollständigkeit oder Cauchy-Vollständigkeit), doch für archimedische Körper (wie oder ) sind die beiden äquivalent: Ein geordneter Körper ist genau dann archimedisch und Cauchy-vollständig, wenn er ordnungsvollständig ist. Es gibt jedoch nicht-angeordnete Körper (wie oder ), die metrisch vollständig sind.

Erläuterungen

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Ein bewerteter Körper ist ein Körper   mit einer Bewertung, d. h. einer Abbildung in die reellen Zahlen

 ,

die die Bedingungen

  für  , und  
  für alle  
  für alle  

erfüllt.

Die Bewertung induziert eine Metrik   auf   durch

 .

Ein bewerteter Körper heißt vollständig, wenn in   mit der induzierten Metrik jede Cauchy-Folge konvergiert.

Verallgemeinerungen

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Die Bezeichnung „vollständiger Körper“ legt nahe, nicht nur bewertete Körper zu betrachten, sondern allgemeiner, mit einer Metrik versehene Körper. Das nLab definiert einen vollständigen Körper als einen vollständigen Raum und fordert zusätzlich die Stetigkeit der Körperoperationen, also dass die Abbildungen

  1.  
  2.  

bzgl. der von der Metrik erzeugten Topologie stetig sind.[2] Aus den oben genannten Eigenschaften einer Bewertung folgt diese Stetigkeit automatisch.

Beispiele

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  • Der Körper der reellen Zahlen   mit der Metrik  .
  • Der Körper der komplexen Zahlen   mit der Metrik  .
  • Der Körper der p-adischen Zahlen   mit der durch die p-adische Norm   definierten Metrik  .
  • Der Schiefkörper   der Quaternionen mit der Metrik  .

Vervollständigung bewerteter Körper

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Definition

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Sei   ein bewerteter Körper und   die von der Bewertung induzierte Metrik. Die Vervollständigung von   bzgl. dieser Metrik ist ein vollständiger Körper, der mit   bezeichnet wird.

Beispiele

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  • Ausgehend vom Körper der rationalen Zahlen   mit der p-adischen Bewertung erhält man als Vervollständigung den Körper der p-adischen Zahlen  .
  • Ausgehend vom Körper der rationalen Zahlen mit dem Absolutbetrag erhält man als Vervollständigung den Körper der reellen Zahlen.
  • Ausgehend vom rationalen Funktionenkörper   und der durch die Nullstellenordnung im Nullpunkt gegebenen Bewertung erhält man als Vervollständigung den Körper   der formalen Laurent-Reihen.

Einzelnachweise

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  1. Lexikon der Mathematik. Band 5. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2002, ISBN 3-8274-0437-1, vollständiger Körper, S. 352 (spektrum.de [abgerufen am 26. März 2019]).
  2. Toby Bartels, et al.: complete space. In: nLab. 12. Juli 2018, abgerufen am 26. März 2019.
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