Divisionsalgebra

Divisionsalgebra

berührt die Spezialgebiete
Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra

ist Spezialfall von
Algebra Quasikörper (für Divisionsalgebra mit Eins)

umfasst als Spezialfälle
Schiefkörper Oktaven

Divisionsalgebra ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der abstrakten Algebra. Grob gesprochen handelt es sich bei einer Divisionsalgebra um einen Vektorraum, in dem man Elemente multiplizieren und dividieren kann.

Definition und Beispiel

Eine Divisionsalgebra ist eine nicht notwendigerweise assoziative Algebra $D\neq \{0\}$ , in der zu je zwei Elementen $a,b\in D,a\neq 0,$ die Gleichungen $a\times x=b$ und $y\times a=b$ stets eindeutige Lösungen $x,y\in D$ besitzen. Dabei bezeichnet $\times$ die Vektormultiplikation in der Algebra. Das ist gleichbedeutend damit, dass die Algebra frei von Nullteilern ist.^[1]

Enthält die Divisionsalgebra ein Einselement, so dass für alle $a\in D$ gilt, dass $a\times 1=1\times a=a$ , so spricht man von einer Divisionsalgebra mit Eins.

Beispiel einer Divisionsalgebra ohne Einselement mit den beiden Einheiten $e_{1}$ und $e_{2}$ , die mit beliebigen reellen Zahlen multipliziert werden können:

${\begin{matrix}e_{1}\times e_{1}&=&+e_{1}\\e_{1}\times e_{2}&=&-e_{2}\\e_{2}\times e_{1}&=&-e_{2}\\e_{2}\times e_{2}&=&-e_{1}\end{matrix}}$

Sätze über reelle Divisionsalgebren

Eine endlichdimensionale Divisionsalgebra über den reellen Zahlen hat stets die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Das wurde 1958 mit topologischen Methoden von John Milnor und Michel Kervaire bewiesen.

Die vier reellen, normierten, Divisionsalgebren mit Eins sind (bis auf Isomorphie):

die reellen Zahlen selbst
die komplexen Zahlen
die Quaternionen
die Oktaven auch Oktonionen oder Cayley-Zahlen.

Dieses Resultat ist als Satz von Hurwitz (1898) bekannt. Alle außer den Oktaven erfüllen das Assoziativgesetz der Multiplikation.

Jede reelle, endlichdimensionale und assoziative Divisionsalgebra ist isomorph zu den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen oder zu den Quaternionen; dies ist der Satz von Frobenius (1877).

Jede reelle, endlichdimensionale kommutative Divisionsalgebra hat maximal die Dimension 2 als Vektorraum über den reellen Zahlen (Satz von Hopf, Heinz Hopf 1940). Dabei wird Assoziativität nicht vorausgesetzt.

Topologische Beweise der Existenz von Divisionsalgebren über den reellen Zahlen

Heinz Hopf zeigte 1940, dass die Dimension einer Divisionsalgebra eine Potenz von 2 sein muss.^[2] 1958 zeigten dann Michel Kervaire und John Milnor^[3] unabhängig voneinander unter Benutzung des Periodizitätssatzes von Raoul Bott über Homotopiegruppen der unitären und orthogonalen Gruppen, dass die Dimensionen $1$ , $2$ , $4$ oder $8$ sein müssen (entsprechend den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaternionen und Oktonionen). Letztere Aussage konnte bisher nicht rein algebraisch bewiesen werden. Der Beweis wurde von Michael Atiyah und Friedrich Hirzebruch auch mit Hilfe der K-Theorie formuliert.^[4]^[5]

Dazu betrachtet man nach Hopf die Multiplikation einer Divisionsalgebra der Dimension $n$ über den reellen Zahlen als stetige Abbildung $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ oder eingeschränkt auf Elemente der Länge $1$ (man teile durch die Norm der Elemente, diese ist ungleich null für Elemente ungleich null da eine Divisionsalgebra nullteilerfrei ist) als Abbildung $S^{n-1}\times S^{n-1}\to S^{n-1}$ . Hopf bewies, dass es eine solche ungerade Abbildung (das heißt $f(-x,y)=-f(x,y)=f(x,-y)$ ) nur gibt, wenn $n$ eine Potenz von $2$ ist. Dazu benutzte er die Homologiegruppen des projektiven Raums. Es gibt weitere äquivalente Formulierungen zur Existenz von Divisionsalgebren der Dimension $n$ :

Die Sphäre $S^{n-1}$ (oder der projektive Raum $\mathbb {P} ^{n-1}$ ) ist parallelisierbar (das heißt, es gibt zu jedem Punkt $x$ von $S^{n-1}$ (n-1) linear unabhängige Vektoren, die stetig von $x$ abhängen und senkrecht auf $x$ stehen).
Es gibt Vektorraumbündel $E$ über $S^{n-1}$ mit Stiefel-Whitney Kohomologieklasse $w_{n}(E)$ ungleich null.
Es gibt eine Abbildung $f\colon S^{2n-1}\to S^{n}$ mit ungerader Hopf-Invariante (siehe Hopf-Verschlingung). Frank Adams zeigte, dass solche Abbildungen nur für $n\in \{2,4,8\}$ existieren.^[6]^[7]

Anwendung

Divisionsalgebren mit Einselement sind Quasikörper (nicht unbedingt umgekehrt). Daher liefert jedes Beispiel einer Divisionsalgebra $D$ in der synthetischen Geometrie ein Beispiel für eine Affine Translationsebene $D^{2}$ .

Siehe auch

Hyperkomplexe Zahl

Literatur

Ebbinghaus et al.: Zahlen. Berlin: Springer, 1992, ISBN 3-540-55654-0
Stefaan Caenepeel, A. Verschoren Rings, Hopf Algebras, and Brauer Groups, CRC Press, 1998, ISBN 0-82470-153-4

Einzelnachweise

↑ z. B. Shafarevich, Grundzüge der algebraischen Geometrie, Vieweg 1972, S. 201. Die lineare Abbildung $\phi (x)=a\times x$ (analog für Rechtsmultiplikation) bildet D auf sich ab und ist injektiv, der Kern besteht danach nur aus der Null.
↑ Hopf, Ein topologischer Beitrag zur reellen Algebra, Comm. Math. Helvetici, Band 13, 1940/41, S. 223–226
↑ Milnor, Some consequences of a theorem of Bott, Annals of Mathematics, Band 68, 1958, S. 444–449
↑ Atiyah, Hirzebruch, Bott periodicity and the parallelisability of the spheres, Proc. Cambridge Phil. Soc., Band 57, 1961, S. 223–226
↑ Die Darstellung zu den topologischen Beweisen folgt Friedrich Hirzebruch, Divisionsalgebren und Topologie (Kapitel 10), in Ebbinghaus u. a. Zahlen, Springer, 1983
↑ Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Annals of Mathematics, Band 72, 1960, S. 20–104
↑ Ein Beweis mit K-Theorie ist in Atiyah, K-Theory, Benjamin 1967

[1] z. B. Shafarevich, Grundzüge der algebraischen Geometrie, Vieweg 1972, S. 201. Die lineare Abbildung $\phi (x)=a\times x$ (analog für Rechtsmultiplikation) bildet D auf sich ab und ist injektiv, der Kern besteht danach nur aus der Null.

[2] Hopf, Ein topologischer Beitrag zur reellen Algebra, Comm. Math. Helvetici, Band 13, 1940/41, S. 223–226

[3] Milnor, Some consequences of a theorem of Bott, Annals of Mathematics, Band 68, 1958, S. 444–449

[4] Atiyah, Hirzebruch, Bott periodicity and the parallelisability of the spheres, Proc. Cambridge Phil. Soc., Band 57, 1961, S. 223–226

[5] Die Darstellung zu den topologischen Beweisen folgt Friedrich Hirzebruch, Divisionsalgebren und Topologie (Kapitel 10), in Ebbinghaus u. a. Zahlen, Springer, 1983

[6] Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Annals of Mathematics, Band 72, 1960, S. 20–104

[7] Ein Beweis mit K-Theorie ist in Atiyah, K-Theory, Benjamin 1967

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