Assoziative Algebra ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Es handelt sich um eine algebraische Struktur, die den Begriff des Vektorraums bzw. des Moduls dahingehend erweitert, dass zusätzlich zur Vektoraddition eine assoziative Multiplikation als innere Verknüpfung definiert wird.

In anderen Worten, eine assoziative Algebra ist eine -Algebra respektive -Algebra, deren Multiplikation zusätzlich assoziativ ist.

Definition

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Ein Vektorraum   über einem Körper   oder ein Modul   über einem Ring   zusammen mit einer bilinearen Abbildung genannt Multiplikation

 

heißt assoziative Algebra, wenn für alle   das folgende Assoziativgesetz gilt:

 

Es handelt sich also um eine spezielle Algebra über einem Körper oder eine spezielle Algebra über einem kommutativen Ring.

Wenn die Multiplikation zusätzlich kommutativ ist, dann spricht man von einer kommutativen assoziativen Algebra.

Erläuterungen

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Der Vektorraum respektive der Modul  , der eine assoziative Algebra ist, besitzt nun neben

  • der Addition:   für  ,
  • der Skalarmultiplikation:   für   und   respektive im Falle des Moduls  ,

eine zusätzliche Operation

  • die Multiplikation   für  ,

welche dem Assoziativgesetz unterliegt.

Der Raum   zusammen mit der Addition und der Skalarmultiplikation bildet die Vektorraum-Struktur  , während   zusammen mit der Addition und der Multiplikation die Ring-Struktur   bildet (wobei hier   die Skalarmultiplikation sein soll).

Beispiele

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  • Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper   bilden (mit der üblichen Multiplikation) eine assoziative Algebra über diesem Körper.
  • Die Endomorphismen eines Vektorraums   bilden mit der Verkettung eine assoziative Algebra. Hierbei ist die Verknüpfung   nicht kommutativ, sofern die Dimension von   größer als 1 ist.
  • Ist   ein unendlichdimensionaler Vektorraum und betrachtet man nur die Endomorphismen mit endlich-dimensionalem Bild, erhält man ein Beispiel, bei dem   kein Einselement hat.
  • Der Vektorraum aller reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem beliebigen topologischem Raum bildet eine assoziative Algebra; dabei werden die Funktionen punktweise addiert und multipliziert.
  • Der Vektorraum aller stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem Banachraum bildet eine assoziative Algebra, bzw. sogar eine Banach-Algebra.
  • Der Matrizenraum aller  -Matrizen bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine assoziative Algebra.
  • Die komplexen Zahlen bilden eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen.
  • Die Quaternionen sind eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen, aber nicht über den komplexen Zahlen.

Literatur

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