Spitze (Singularitätentheorie)

In der Mathematik sind Spitzen (auch Kuspen, engl.: cusps) ein Typ von Singularitäten von Kurven. Ein sich auf der Kurve bewegender Punkt müsste an der Spitze seine Richtung abrupt ändern.

Der Punkt $(0,0)$ ist eine Spitze der Kurve $x^{3}-y^{2}=0$.

Definition

Eine Kurve $C$ in der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ sei definiert durch die Gleichung

$f(x,y)=0$.

Ein auf der Kurve liegender Punkt $(x,y)$ ist eine Singularität, wenn

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0$,

und diese Singularität ist eine Spitze, wenn zusätzlich

$\det \left({\begin{array}{cc}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,y)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}(x,y)\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}(x,y)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x,y)\end{array}}\right)=0$

gilt.

Klassifikation und Beispiele

Jede Spitze kann durch eine lokale Umparametrisierung in die Form

$x^{2}-y^{2k+1}=0$

mit $k\geq 1,k\in \mathbb {Z}$ gebracht werden. In der Klassifikation der Singularitäten entspricht diese Spitze einer $A_{k}$-Singularität.

Für $k=1$ erhält man die gewöhnliche Kuspe

$x^{2}-y^{3}=0$.

Für $k=2$ erhält man die rhamphoide Kuspe

$x^{2}-y^{5}=0$.

Beispielsweise haben Kaustiken Spitzen.

Weblinks

• Cusp (MathWorld)