Störungslemma

mathematischer Satz

Als Störungslemma bezeichnet man in der Numerik einen Satz, der eine Aussage über die Norm der Inversen einer regulären Matrix bei kleinen Störungen macht.

Sei   eine reguläre Matrix und   eine Matrix mit

 

in einer submultiplikativen Matrixnorm  . Dann ist auch die Matrix   regulär und es gilt für ihre Inverse:

 

Sei  . Dann gilt

 

Also konvergiert die Neumann-Reihe   und   ist invertierbar. Da   invertierbar ist, folgt, dass auch   invertierbar ist und

 

Verwendung

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Dieses Lemma wird verwendet, um die Konditionszahl für das Lösen linearer Gleichungssysteme als

 

herzuleiten.

Literatur

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  • J. W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia 1997
  • A. Kielbasinski und H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988, ISBN 3-326-00194-0