Sterngebiet

topologisches Gebiet
(Weitergeleitet von Sternförmige Menge)

In der Mathematik versteht man unter einer sternförmigen Menge eine Teilmenge des , zu der es einen Punkt gibt (ein Sternzentrum bzw. einen Sternmittelpunkt), von dem aus alle Punkte der Menge „sichtbar“ sind, das heißt, jede gerade Verbindungsstrecke von zu einem beliebigen Punkt liegt vollständig in .

Sternförmige Menge mit Sternzentrum ihr Inneres (grün) ist ein Sterngebiet

Ist eine sternförmige Menge zusätzlich offen, so spricht man von einem Sterngebiet.

Formale Definition

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Eine Menge   heißt sternförmig, wenn es ein   gibt, so dass für alle   die Strecke

 

eine Teilmenge von   ist.

Eine Teilmenge   eines Vektorraums   heißt sternförmig um  , wenn für jedes   das abgeschlossene Intervall   ist. Eine Menge   wird als sternförmiges Gebiet bezeichnet, wenn es einen Punkt   gibt, sodass   um   sternförmig ist.

Bemerkungen

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  • Jede nichtleere konvexe Menge ist sternförmig.
  • Die Menge der möglichen Sternzentren heißt auch Zentrum der Menge. Man kann zeigen, dass es stets konvex ist. Eine Menge stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie konvex ist.
  • Sternförmige Mengen sind kontrahierbar. Daraus folgt:
  • Sternförmige Mengen sind einfach zusammenhängend, also insbesondere wegzusammenhängend.
  • Ein Sterngebiet ist ein Gebiet.

Siehe auch

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Literatur

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