Stetige Kohomologie

In der Mathematik ist die stetige Kohomologie eine Variante der Gruppenkohomologie, bei deren Definition aber nur stetige Kozykel zugelassen werden. Sie ist häufig Berechnungen zugänglicher als die Gruppenkohomologie und wird deshalb in verschiedenen Bereichen der Darstellungstheorie und globalen Analysis verwendet.

Definition

Es sei $G$ eine topologische Gruppe. Die stetige Kohomologie $H_{c}^{*}(G)$ ist die Kohomologie des Komplexes $(C_{c}^{n}(G),d^{n})$ mit

$C_{c}^{n}=\left\{f\colon G^{n+1}\to \mathbb {R} \ {\mbox{stetig}}\ \mid f(\sigma \sigma _{1},\ldots ,\sigma \sigma _{n+1})=\sigma \cdot f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1})\ \forall \ \sigma \in G\right\}$

und

$(d^{n-1}f)(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}(-1)^{i}f(\sigma _{1},\ldots ,{\hat {\sigma }}_{i},\ldots ,\sigma _{n+1}).$

Die Elemente dieses Komplexes heißen homogene stetige Koketten.

Beispiele

Die stetige Kohomologie halbeinfacher Lie-Gruppen kann mit dem Satz von van Est berechnet werden. Beispielsweise ist

$H_{c}^{i}(SO(n,1))={\begin{cases}\mathbb {R} ,&{\text{für }}i=0\\0,&{\text{sonst}}\end{cases}}$

und

$H_{c}^{*}(SL(n,\mathbb {C} ))=\Lambda _{\mathbb {Z} }(b_{3},b_{5},\ldots ,b_{2n-1}),$

wobei $b_{i}\in H_{c}^{i}(SL(n,\mathbb {C} ))$ die i-te Borel-Klasse bezeichnet.

Literatur

• Armand Borel, Nolan Wallach: Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups. Second edition. Mathematical Surveys and Monographs, 67. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. ISBN 0-8218-0851-6