Stokes-Automorphismus

Der Stokes-Automorphismus ist ein Begriff aus der Écalle-Theorie (Theorie der resurgenten Funktionen) und der asymptotischen Analysis. Der Automorphismus stellt einen Zusammenhang zwischen zwei gerichteten Borel-Resummierungen bzw. Borel-Laplace-Transformationen dar, welche durch eine Stokes-Linie getrennt werden.

Bei asymptotischen Entwicklungen von komplex-wertigen Funktionen spielt das Argument eine zentrale Rolle und so können unterschiedliche asymptotische Entwicklungen für dieselbe Funktion auftreten. Das klassische Beispiel ist die Airy-Funktion. Die verschiedenen Regionen werden durch die Stokes- und Anti-Stokes-Linien getrennt. Bildet man nun Resummierungen, das heißt Borel-Summierungen mit Laplace-Transformationen, können diese durch Stokes-Linien getrennt sein.

Der Stokes-Automorphismus ist nach Sir George Gabriel Stokes benannt.

Stokes-Automorphismus

Mit ${\widetilde {\text{Res}}}^{simp}$ bezeichnen wir den Raum der simplen $\Omega$-resurgenten Reihen d. h. Potenzreihen, deren formale Borel-Transformation simple $\Omega$-resurgente Funktionen sind. Die nachfolgende Definition wird für Elemente aus ${\widetilde {\text{Res}}}^{simp}$ definiert, kann aber auf den Raum der resurgenten Funktionen $\mathbb {C} \delta \oplus {\widetilde {\mathcal {H}}}({\mathcal {R}})$ erweitert werden.

Sei ${\widetilde {\phi }}(z)\in {\widetilde {\text{Res}}}^{simp}$, dann ist die laterale Borel-Summierung entlang $\theta$ definiert durch

${\mathcal {S}}_{\theta ^{+}}{\widetilde {\phi }}(z)=c+\int _{0}^{e^{i\theta }(\infty +i\varepsilon )}\mathrm {d} \zeta e^{-z\theta }{\widehat {\phi }}(\zeta )$

${\mathcal {S}}_{\theta ^{-}}{\widetilde {\phi }}(z)=c+\int _{0}^{e^{i\theta }(\infty -i\varepsilon )}\mathrm {d} \zeta e^{-z\theta }{\widehat {\phi }}(\zeta )$

wobei $c\in \mathbb {C}$ und ${\widehat {\phi }}(\zeta )$ die Borel-Transformation von ${\widetilde {\phi }}$ bezeichnet.

Sei ${\mathcal {S}}_{\theta ^{\pm }}$ die laterale Borel-Summierung, dann ist der Stokes-Automorphismus ${\mathfrak {S}}_{\theta }:{\widetilde {\text{Res}}}^{simp}\to {\widetilde {\text{Res}}}^{simp}$ definiert als ${\mathcal {S}}_{\theta ^{+}}={\mathcal {S}}_{\theta ^{-}}\circ {\mathfrak {S}}_{\theta }$.

Literatur

• Claude Mitschi, David Sauzin: Divergent Series, Summability and Resurgence I. 1. Auflage. Springer Verlag, Schweiz 2016, ISBN 978-3-319-28735-5 (englisch).