Stolarsky-Mittel

In der Mathematik ist der Stolarskysche Mittelwert oder kurz das Stolarsky-Mittel ein von Kenneth B. Stolarsky eingeführter Mittelwert, der das logarithmische Mittel verallgemeinert.

Für zwei Zahlen $x,y$ und einen Parameter $p$ ist das Stolarsky-Mittel definiert als

$S_{p}(x,y)\,=\,\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\left({\frac {\xi ^{p}-\eta ^{p}}{p(\xi -\eta )}}\right)^{1 \over p-1}\,=\,{\begin{cases}x&{\mbox{falls }}x=y\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{1 \over p-1}&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$

Dabei ist der Grenzwert über alle Paare $(\xi ,\eta )$ mit $\xi \not =\eta$ zu bilden. Im Falle $x=y$ ist der Grenzwert die ${1 \over p-1}$-te Potenz des Differentialquotienten der Funktion $x\mapsto {\frac {x^{p}}{p}}$ und stimmt daher tatsächlich, wie angegeben, mit $x$ überein.

Spezialfälle

Das Stolarsky-Mittel hat folgende Spezialfälle:

$S_{-\infty }(x,y)$	$\,={\text{min}}\{x,y\}$	Minimum (Grenzwert!)
$\,S_{-1}(x,y)$	$={\sqrt {xy}}$	Geometrisches Mittel
$\,S_{0}(x,y)$	$={\frac {x-y}{\log x-\log y}}$	Logarithmisches Mittel (Grenzwert!)
$S_{\frac {1}{2}}(x,y)$	$=\left({\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}{2}}\right)^{2}$	Hölder-Mittel mit 1/2
$\,S_{1}(x,y)$	$={\frac {1}{e}}\left({\frac {y^{y}}{x^{x}}}\right)^{\frac {1}{y-x}}$	identric mean (Grenzwert!)
$\,S_{2}(x,y)$	$={\frac {x+y}{2}}$	Arithmetisches Mittel
$S_{\infty }(x,y)$	$=\,{\text{max}}\{x,y\}$	Maximum (Grenzwert!)

Gewichtetes Stolarsky-Mittel

Das Stolarsky-Mittel lässt sich auch gewichten:

$S_{\omega _{1},\omega _{2}}(x,y)=\left({\frac {\omega _{2}\cdot (x^{\omega _{1}}-y^{\omega _{1}})}{\omega _{1}\cdot (x^{\omega _{2}}-y^{\omega _{2}})}}\right)^{\frac {1}{\omega _{1}-\omega _{2}}}$

Referenzen

• Horst Alzer: Bestmögliche Abschätzungen für spezielle Mittelwerte. (PDF; 141 kB)
• Horst Alzer: Ungleichungen für Mittelwerte. In: Archiv der Mathematik, Vol. 47 (5), November 1986, springerlink.com
• Edward Neumann: Stolarski Means of Several Variables (PDF; 254 kB) In: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol. 6, 2(30), 2005.
• Thomas Riedel, Prasanna K. Sahoo: A characterization of the Stolarsky mean. In: Aequationes Mathematicae, 70, Nr. 1/2, Sept. 2005, springerlink.com