Streuamplitude

Die Streuamplitude $f$ ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition

Die Streuamplitude $f(p\to p')$ ist über den S-Operator $S$ definiert:

$\langle p'|S|p\rangle =\delta ^{(3)}({\vec {p}}'-{\vec {p}})+{\tfrac {\mathrm {i} }{2\pi m}}\delta (E'-E)f(p\to p')$

Dabei sind

• $|p\rangle$ der Anfangszustand und $|p'\rangle$ der Endzustand mit definiertem Impuls, also Eigenzustände des Impulsoperators,
• ${\vec {p}},{\vec {p}}'$ die Impulse der Zustände,
• $E,E'$ die Energie der Zustände,
• $m$ die Masse (Physik) der Zustände und
• $\delta$ die Dirac-Distribution.

Alternativdefinition

Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels $\theta$ zwischen ${\vec {p}}$ und ${\vec {p}}'$ geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:

${\begin{aligned}\psi _{\mathrm {out} }({\vec {p}}')&=\langle p'|\psi _{\mathrm {out} }\rangle =\langle p'|S|\psi _{\mathrm {in} }\rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\langle p'|S|p\rangle \langle p|\psi _{\mathrm {in} }\rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\langle p'|S|p\rangle \,\psi _{\mathrm {in} }(p)\\&=\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}}')+{\frac {\mathrm {i} }{2\pi m}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\delta (E'-E)f(p\to p')\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}})\\&=\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}}')+{\frac {\mathrm {i} }{2\pi m}}f(E',\theta )\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\delta (E'-E)\;\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}})\end{aligned}}$

Wenn für die eingehende Welle $\psi _{\mathrm {in} }$ eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:

$\psi _{\mathrm {out} }(p')=e^{\mathrm {i} p'z}+f(E',\theta )\;{\frac {e^{\mathrm {i} p'r}}{r}}$

Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\vartheta )|^{2}\;.$

Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem:

$\sigma _{\mathrm {tot} }=\int _{4\pi }{\frac {d\sigma }{d\Omega }}\cdot d\Omega ={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0)$

mit der Wellenzahl $k$ und dem Imaginärteil $\mathrm {Im} \,f(0)$ der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.

Partialwellenentwicklung

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:

$f(\vartheta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)\;f_{\ell }(k)\;P_{\ell }(\cos \vartheta )$

wobei

• $f_{\ell }(k)$ die partielle Streuamplitude
• $P_{\ell }(\cos \vartheta )$ das Legendre-Polynom
• $\ell$ der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element $S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}$ und die Streuphase $\delta _{\ell }$ ausgedrückt werden:

$f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.$

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude $f_{\ell }$, das S-matrix Element $S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}$ und die Streuphase $\delta _{\ell }$ implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses $k$ sind (hier in Form des Wellenvektors k, wobei gilt ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$).

Damit lässt sich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:

$\sigma _{\text{total}}={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}\;.$

Die Streulänge $a_{\ell }$ kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

$f_{\ell }(p){\xrightarrow[{p\rightarrow 0}]{}}-a_{\ell }\cdot p^{2\ell }$

Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge $a_{0}$ der s-Wellen $(\ell =0)$ als Streulänge bezeichnet.

Literatur

Siehe auch: Streutheorie