Die Swift-Hohenberg-Gleichung (nach den beiden US-amerikanischen Physikern Jack B. Swift und Pierre C. Hohenberg) ist eine mathematische Modellgleichung zur Untersuchung von Musterbildungsprozessen.[1] Eine mathematisch vereinfachte Form dieser Gleichung beschreibt das Muster der Faltenbildung von Papillarleisten (Dermatoglyphen) an Fingern, also das Muster von Fingerabdrücken, sowie das Muster der Bildung von Rillen auf eintrocknenden Rosinen.[2][3]

Die Gleichung

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Es handelt sich um eine partielle Differentialgleichung auf einer reellen oder komplexen skalaren Funktion   mit zwei räumlichen und einem zeitlichen Argument:

 .

Dabei sind

  •   die partielle Ableitung nach der Zeit
  • der Parameter   das Analogon zur Temperatur im Bénard-Experiment
  •   der Laplaceoperator
  •   eine kritische Kreiswellenzahl
  •   eine nichtlineare Funktion mit  .

Von Interesse ist vor allem das Aussehen von   nach einer hinreichend langen Zeit  , d. h. die stabilen Lösungen der Gleichung, sofern solche jemals erreicht werden.

Homogene Lösung

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Für   ergibt sich   als stabile Lösung der Gleichung.

Kritischer Punkt

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Das Verhalten um den kritischen Punkt   wird nach einer Fouriertransformation des Linearanteils der Gleichung offensichtlich:

 
  • Im Fall   konvergieren die Amplituden   zu allen Wellenzahlen gegen Null, es bildet sich also kein Muster aus.
  • Ist  , so wachsen die Amplituden einiger überkritischer Wellenzahlen. Die überkritischen Wellenzahlen bilden einen Kreis mit dem Radius  . Es bildet sich ein Muster mit der Wellenlänge  .

Überkritisches Verhalten

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Das überkritische Verhalten für   wird durch die Ausformung von   bestimmt. Ähnlich wie beim Bénard-Experiment sind die Lösungen typischerweise Rollen oder hexagonale Muster.

Literatur

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  • M. C. Cross and P. C. Hohenberg, Rev. Mod. Phys. 65, 851 (1993).
  • J. Swift (Department of Physics, University of Texas, Austin), P. C. Hohenberg (Bell Laboratories, Murray Hill; Physik Department, Technische Universität München): Hydrodynamic fluctuations at the convective instability. Phys. Rev. A 15, 319–328 (1977)

Einzelnachweise

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  1. J. Swift, P. Hohenberg: Hydrodynamic fluctuations at the convective instability. In: Physical Review A. 15, 1977, S. 319, doi:10.1103/PhysRevA.15.319.
  2. Holger Dambeck: Mathematiker erklären Muster von Fingerabdrücken. Spiegel Online, 4. Februar 2015, abgerufen am 5. Februar 2015.
  3. Norbert Stoop, Romain Lagrange, Denis Terwagne, Pedro M. Reis, Jörn Dunkel: Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns. In: Nature Materials. 14, 2015, S. 337, doi:10.1038/NMAT4202.