Symmetrisches Lanczos-Verfahren

In der numerischen Mathematik ist das symmetrische Lanczos-Verfahren ein Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen für symmetrische oder hermitesche Matrizen. Es stellt sowohl einen Spezialfall des unsymmetrischen Lanczos-Verfahrens, als auch des Arnoldi-Verfahrens dar.

Der Algorithmus

Es sei eine hermitesche Matrix $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ und ein beliebiger Startvektor $r_{0}\in \mathbb {C} ^{n}$ ungleich Null gegeben. Dann erstellt der folgende Algorithmus eine Orthonormalbasis $q_{1},..,q_{k}$ des Krylow-Unterraums ${\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(A,r_{0})$. Diese kann dann zur Berechnung von Eigenwerten oder der Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt werden.

1. Setze $q_{0}=0$
2. for $k=1,..,n$ do
3. $\beta _{k-1}=\|r_{k-1}\|$
4. $q_{k}=r_{k-1}/\beta _{k-1}$
5. $r_{k}=Aq_{k}$
6. $\alpha _{k}=\langle q_{k},r_{k}\rangle$
7. $r_{k}=r_{k}-\alpha _{k}q_{k}-\beta _{k-1}q_{k-1}$
8. end for

Literatur

• Andreas Meister, Christof Vömel: Numerik linearer Gleichungssysteme. Eine Einführung in moderne Verfahren. 2. Aufl. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-13135-7.