Tangentialkraft

Kraftkomponente tangential zu einer Kurve oder parallel zu einer (gedachten) Ebene

Die Tangentialkraft wirkt tangential zur Bahnkurve eines bewegten Körpers. Das heißt, sie wirkt entlang der Richtung, in die sich das Objekt gerade bewegt. Die Richtungsänderung ist für sie unbedeutend. Dies kann, wenn keine weiteren Kräfte wirken, zu einer Geschwindigkeitsänderung in Richtung der Kraft führen[1].

Tangential- und Normalkraft entlang einer Zykloide

Wirken in einer Ebene mehrere Kräfte auf die Beschleunigung eines Körpers, so lässt sich die Resultierende in die beiden senkrechten Komponenten der Tangentialkraft und der Normalkraft zerlegen. Die Tangentialkomponente verändert nur den Betrag der Geschwindigkeit und nicht die Richtung. Die Normalkraft ändert nur die Bewegungsrichtung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit des Körpers und der Bahnform.[2]

Beispiele

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Freier Fall im homogenen Schwerefeld

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Der freie Fall im homogenen Schwerefeld beschreibt die Bewegung eines Körpers, der nur durch die konstante Gravitationskraft beeinflusst wird, ohne dass Luftwiderstand oder andere Kräfte wirken. Im homogenen Schwerefeld ist die Gravitationskraft überall gleich groß und wirkt in die gleiche Richtung. Die Tangentialkraft   verläuft parallel zur Gewichtskraft  .

 

Der Körper erfährt also eine konstante Beschleunigung  . Ohne Reibung und Luftwiderstand ist der zurückgelegte Weg   proportional dem Quadrat der Fallzeit  :  [3].

Hangabtriebskraft an der schiefen Ebene

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Tangentialkraft entlang der schiefen Ebene

In einem homogenen Schwerefeld beschleunigt die Tangentialkraft   einen Körper   der Masse   auf der schiefen Ebene ohne Wirkung der Reibung nach unten[4]:

 

Die Beschleunigung   durch die Hangabtriebskraft   ist um den Faktor   kleiner als im freien Fall[5].

Die von der schiefen Ebene auf den Körper   ausgeübte Zwangskraft   ist betragsmäßig gleich der Normalkomponente der Gewichtskraft  , wirkt jedoch in entgegengesetzter Richtung  . Es herrscht Kräftegleichgewicht senkrecht zur Ebene, so dass der Körper in dieser Richtung nicht beschleunigt wird[6].

Reibungskraft zwischen festen Körpern

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Ein Beispiel für eine Tangentialkraft ist die Kraft, die uns in den Sitz drückt, wenn wir im Auto Gas geben. Die Tangentialgeschwindigkeit ändert sich, wenn nicht andere Kräfte dies verhindern. Im realen Fall mit Reibung muss die Beschleunigungskraft   einen Schwellenwert überschreiten, damit sich ein Körper in Bewegung setzt. Diese Beschleunigungskraft muss immer größer sein als die Reibungskraft  , die als Tangentialkraft mit dem Einheitsvektor   immer der Bewegungsrichtung entgegengerichtet ist. Mit der Normalkraft   des Körpers senkrecht zur Auflage beträgt die Reibungskraft erfahrungsgemäß[7]

 

Die Reibungszahl   steigt von der Rollreibung über die Gleitreibung zur Haftreibung an[8].

Luftwiderstand

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Der Luftwiderstand   ist die Reibungskraft, die einem sich mit der Geschwindigkeit   bewegenden Körper in der Luft entgegenwirkt.

 

Sie ist also eine Tangentialkraft, die nicht nur quadratisch mit der Geschwindigkeit   wächst, sondern auch proportional zum Widerstandsbeiwert  , zur Luftdichte   und zur Querschnittsfläche   ist[9].

Viskose Reibung in Flüssigkeiten

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Eine Kugel mit dem Radius   sinkt mit konstant kleiner Geschwindigkeit   durch eine Flüssigkeit (Reynolds-Zahl Re<0,4[10]). Die der Bewegung entgegenwirkende viskose Reibungskraft berechnet sich zu

 

Die viskose Reibung oder Stokes-Reibung[11] tritt in Flüssigkeiten auf und hängt von der dynamischen Viskosität   der Flüssigkeit ab. Sie ist eine Tangentialkraft. Bei konstanter Geschwindigkeit herrscht Kräftegleichgewicht zwischen Reibungskraft und Gewichtskraft:

 

Tangentialkraft am Fadenpendel

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  und Fadenspannung   erzeugen die Tangentialkraft   am Fadenpendel

Beim Fadenpendel schwingt ein Körper der Masse   an einem masselosen Faden fester Länge   im homogenen Gravitationsfeld   auf einer Kreisbahn mit dem Auslenkungswinkel   hin und her[12]. Die Kraft, die den Pendelkörper auf seiner Bahn beschleunigt, ist die Tangentialkraft  . Eine Kraft   senkrecht zur Bewegungsrichtung   zwingt den Körper auf die Kreisbahn. Die Bewegung erfolgt in einer Ebene und wir brauchen die binormale Komponente der Zwangskraft entlang   nicht zu berücksichtigen. Die Newtonsche Bewegungsgleichung mit einer Zwangskraft lautet[13]:

 

Mit Polarkoordinaten und parametrisiert durch die Bogenlänge   wird die Lage des Pendelkörpers   durch   beschrieben:

 

Die Geschwindigkeit ist die erste Zeitableitung des Ortsvektors   mit  , wobei die Zeitableitung durch einen Punkt   über der abzuleitenden Größe symbolisiert wird.

 

Mit   lässt sich aus der Newtonschen Bewegungsgleichung die Tangentialkraft   berechnen:

 

Diese Kraft wirkt entlang der Bewegungsrichtung des Pendels und ist am größten, wenn das Pendel im Umkehrpunkt seiner Schwingung seine höchste Lage erreicht.

Für die Zwangskraft ist die Beschleunigung als zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit zu berechnen:

 

Die Zwangskraft ergibt sich aus der Normalkomponente der Newtonschen Bewegungsgleichung:

 

Mit  ,   und   gilt für die Zwangskraft

 

Das Geschwindigkeitsquadrat   folgt aus der Energieerhaltung[14] beim Fadenpendel

 

Für die Zwangskraft   bedeutet dies[15]

 

An den Umkehrpunkten   ist die Zwangskraft   und am tiefsten Punkt der Pendelschwingung mit   maximal. Für   erreicht  .

Tangentialkraft auf ein Objekt, das sich entlang einer Zykloide bewegt

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Tangential- und Zentripetalkraft auf ein Teilchen entlang einer Zykloide

Ein Kreis mit dem Radius   rollt ohne Schlupf auf einer Geraden ab. Die Geschwindigkeit   des Kreismittelpunktes   sei konstant   mit der Kreisfrequenz  . Ein Punkt   auf dem Kreisumfang bewegt sich auf einer gewöhnlichen Zykloide[16]. Die Gleichungen der Zykloide in einem kartesischen Koordinatensystem   lauten mit dem Drehwinkel[17]  :

 

Die Geschwindigkeit   des Punktes   ist die Zeitableitung  . (Symbol:  )

 

mit dem Tangenteneinheitsvektor  

 

und dem Geschwindigkeitsbetrag

 

Deutliche Vereinfachungen[18] ermöglichten die Beziehungen der halben Argumente   und der doppelten Argumente  .

Die Beschleunigung   ist eine weitere Zeitableitung der Geschwindigkeit  :

 

Der Punkt   auf dem Kreis wird mit der konstanten Beschleunigung   hin zum Kreismittelpunkt   gezogen[19]. Der Vektor   von der momentanen Drehachse   hin zum Punkt   lautet

 

Die Geschwindigkeit   steht senkrecht auf der Seite DP und der Kreis um   wird zum Thales-Kreis. Die Geschwindigkeit   muss also immer auf den Punkt   zeigen.

Die Kraft   beträgt für ein Teilchen im Punkt   mit der Masse  :

 

Die Tangentialkraft   weist ebenfalls nach   mit der Komponente:

 

Die Normalkraft   verläuft entlang der Seite DP und ihre Komponente ist

 

Die Kraft   beträgt für ein Teilchen im Punkt   mit der Masse  :

 

mit dem Betrag  .

Arbeit der Tangentialkraft

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Die mechanische Arbeit   ist definiert als Kraftkomponente mal Weg oder Kraft mal Wegkomponente und ist definiert als[20]:

 

Wirkt eine Tangentialkraft auf einen Körper, so verrichtet sie Arbeit und ändert dessen Energie. Dieser Beitrag zur mechanischen Arbeit wird für eine reine Tangentialkraft   maximal zu  .

Einzelnachweise

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  1. Rainer Müller: Klassische Mechanik - Vom Weitsprung zum Marsflug. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin / New York 2010, ISBN 978-3-11-025002-2, S. 61.
  2. Arnold Sommerfeld: Mechanik. 8. Auflage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1977, ISBN 3-87144-374-3, S. 30.
  3. Hund, Friedrich: Einführung in der Theoretische Physik - Band I: Mechanik. 1. Auflage. Bibliographisches Institut, Leipzig 1945, S. 53.
  4. Hund, Friedrich: Einführung in der Theoretische Physik - Band I: Mechanik. 1. Auflage. Bibliographisches Institut, Leipzig 1945, S. 53.
  5. Christian Gerthsen, H. O. Kneser, Helmut Vogel: Physik. 12. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1974, ISBN 3-540-06336-6, S. 14.
  6. Rainer Müller: Klassische Mechanik - Vom Weitsprung zum Marsflug. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin / New York 2010, ISBN 978-3-11-025002-2, S. 423.
  7. Christian Gerthsen, H. O. Kneser, Helmut Vogel: Physik. 12. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1974, ISBN 3-540-06336-6, S. 90.
  8. Anton Hammer, Hildegard Hammer, Karl Hammer: Taschenbuch der Physik. 9. Auflage. Lindauer, München 2004, ISBN 3-87488-094-X, S. 22.
  9. Ludwig Prandtl: Führer durch die Strömungslehre. 2. Auflage. Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig 1944, S. 159.
  10. Ludwig Prandtl: Führer durch die Strömungslehre. 2. Auflage. Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig 1944, S. 172.
  11. Friedhelm Kuypers: Physik in den Ingenieur- und Naturwissenschaften - Band 1: Mechanik und Thermodynamik. 4. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2023, ISBN 978-3-527-41398-0, S. 192.
  12. Arnold Sommerfeld: Mechanik. 8. Auflage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1977, ISBN 3-87144-374-3, S. 76.
  13. Rainer Müller: Klassische Mechanik - Vom Weitsprung zum Marsflug. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin / New York 2010, ISBN 978-3-11-025002-2, S. 420.
  14. Arnold Sommerfeld: Mechanik. 8. Auflage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1977, ISBN 3-87144-374-3, S. 76.
  15. Keck, Wilhelm: Vorträge über Mechanik als Grundlage für das Bau- und Maschinenwesen - Teil 1: Mechanik starrer Körper. 2. Auflage. Helwingsche Verlagsbuchhandlung, Hannover 1900, S. 76.
  16. Arnold Sommerfeld: Mechanik. 8. Auflage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1977, ISBN 3-87144-374-3, S. 83.
  17. I.N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1980, ISBN 3-87144-492-8, S. 143.
  18. I.N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1980, ISBN 3-87144-492-8, S. 233.
  19. Günther Holzmann, Heinz Meyer, Georg Schumpich: Technische Mechanik - Teil 2: Kinematik und Kinetik. 3. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-26506-0, S. 48.
  20. Arnold Sommerfeld: Mechanik. 8. Auflage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1977, ISBN 3-87144-374-3, S. 7.