Telegraphengleichung

eine allgemeine Form der Wellengleichung

Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.

Allgemeines

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Die Telegraphengleichung ist eine partielle Differentialgleichung (bei   hyperbolisch, bei   elliptisch und bei   parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form:

 .

Dabei ist   der Laplace-Operator, in einer Orts-Dimension also  . Die Ableitung nach   steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt eines Vektors kann auch ein Skalar   stehen.

In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung).

Telegraphengleichung mit a>0, b>0; c=d=0

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Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

 

Der Vorfaktor   hat die Dimension eines inversen Geschwindigkeitsquadrats.

Zum Beispiel kann man mit den Materialgleichungen der Elektrodynamik die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu

 

und

 .

wobei   (c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benutzt wurde.

Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist   und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.

Telegraphengleichung mit a>0; b=c=d=0

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Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung:

 

Insbesondere erhält man die ursprünglich von Oliver Heaviside eingeführten Telegraphengleichungen für die Spannung   und dem Strom   in einer Doppelleitung mit Induktivität   und Kapazität   (Auf die Länge bezogen und im Allgemeinen ortsabhängig):

 

bzw.

 

wobei Leitungsverluste vernachlässigt wurden. Da   breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit   aus.

Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste (  wie im freien Raum).

Literatur

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  • Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.
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