Tensorregression

Regressionsmodell basierend auf Tensoren

Als Tensorregression bezeichnet man in der Statistik ein Regressionsmodell basierend auf Tensoren. Bei einer solchen Regression können entweder der Regressor , der Regressand oder beide Tensoren sein. Tensorregressionen werden vor allem für hochdimensionale oder große Daten verwendet, da Tensoren eine natürliche Darstellung solcher Daten sind. Ein Anwendungsbeispiel für die Tensorregression liegt im Neuroimaging, wo man zum Beispiel die Hirnaktivität einer Maus misst, welche durch ein Labyrinth rennt. Dabei werden Hunderte von Neuronen über einen längeren Zeitraum gemessen.

Bei hochdimensionalen Daten besitzt der Koeffiziententensor meistens einen viel höheren Rang als der Regressor und der Regressand, weshalb man – ähnlich wie bei der Regression mit reduziertem Rang – häufig die Annahme trifft, dass der Koeffiziententensor einen tiefen Rang basierend auf einer Tensorzerlegung besitzt. Bekannte solche Zerlegungen sind die Candecomp/Parafac-Zerlegung (CP), die Tucker-Zerlegung, die Tensor-Singulärwertzerlegung (t-SVD) und die Tensor-Train-Zerlegung (TT).

Im Artikel wird eine Tensor-Verallgemeinerung der verallgemeinerten linearen Modelle (GLM) behandelt, welche 2013 von Hua Zhou et al.[1] mit der Candecomp/Parafec-Zerlegung eingeführt wurde und manchmal als CP-GLTR (englisch generalized linear tensor regression) abgekürzt wird.

Tensorregression

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Im Artikel wird die Tensorregression auf den reellen Zahlen mit dem reellen Tensorprodukt   definiert, das Konzept lässt sich aber auch auf allgemeinen Vektorräumen respektive Moduln definieren.

In der allgemeinen Form sind Tensordaten   gegeben, dann ist das Tensorregressionsmodell von der Form

 

wobei

 

Tensoren und   natürliche Zahlen sind. Typischerweise besitzt der Koeffiziententensor   einen viel höheren Rang als die anderen Tensoren.

Durch Konkatenation  , lässt sich das auch kompakter als

 

hinschreiben.[2]

Tensorapproximation

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Für einen beliebigen Tensor   sucht man einen Tensor   mit einer niedrigen Rang-Zerlegung, welche   am besten approximiert, welches zu einem Optimierungsproblem der Form

 

führt, wobei wir hier die Frobenius-Norm gewählt haben. Zwei populäre Wahlen für eine solche Zerlegung sind die Candecomp/Parafec-Zerlegung (kurz CP-Zerlegung) und die Tucker-Zerlegung. Die CP-Zerlegung ist auch unter dem Namen canonical polyadic decomposition bekannt. Die Tucker-Zerlegung ist eine Form einer höher-dimensionalen Hauptkomponentenanalyse und wird auch HOSVD für englisch higher-order singular value decomposition genannt.

Tensorzerlegungen

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CP-Zerlegung

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Sei   ein Tensor. Eine CP-Zerlegung für ein   ist eine Rang- -Zerlegung von   in Elementartensoren

 

wobei die   Vektoren der Form   sind und   ein Gewichtsvektor zur Normierung ist. Die minimale Zahl

 

nennt man den Rang von   und er ist invariant unter Basiswechsel. Die Berechnung des Rangs ist jedoch NP-schwer.[3]

Tucker-Zerlegung

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Die Tucker-Zerlegung (oder auch HOSVD) zerlegt einen Tensor   in einen Kern-Tensor   und   Faktor-Matrizen  

 

elementweise geschrieben

 

wobei   für   und   Vektoren sind und  . Die Parameter   nennt man Tucker-Ränge.

Regressionsmodelle

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Verallgemeinerte lineare Tensorregression mit CP-Zerlegung

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Die von Zhou et al.[1] betrachtete Verallgemeinerung der verallgemeinerten linearen Modelle ist die Kopplungsfunktion

 

wobei der Regressor   und   Tensoren sind,   ein Vektor-Regressor, der Regressand   ein Skalar und   der y-Achsenabschnitt ist. Das innere Produkt ist über die Vektorisierung   definiert. Sie nahmen nun an, dass für   eine CP-Zerlegung mit Rang   existiert

 

Das Khatri-Rao-Produkt   (auch spaltenweises Kronecker-Produkt) ist für zwei Matrizen   und   wie folgt definiert

 

wobei   hier die Spalten der Matrizen sind und das Kronecker-Produkt genommen wird.

Mit Hilfe des Khatri-Rao-Produkt kann das Regressionsmodell nun umgeschrieben werden

 

wobei   aus   Matrizen   besteht,   ein Vektor aus   Einsen ist.[1]

Literatur

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  • Yipeng Liu, Jiani Liu, Zhen Long und Ce Zhu: Tensor Regression. In: Foundations and Trends in Machine Learning. Band 14, Nr. 4, 2021, S. 379–565, doi:10.1561/2200000087.

Einzelnachweise

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  1. a b c Hua Zhou, Lexin Li und Hongtu Zhu: Tensor Regression with Applications in Neuroimaging Data Analysis. In: Journal of the American Statistical Association. Band 108, Nr. 502, 2013, S. 540–552, doi:10.1080/01621459.2013.776499.
  2. Liu, Yipeng and Liu, Jiani and Long, Zhen and Zhu, Ce: Tensor Regression. In: Foundations and Trends in Machine Learning. Band 14, Nr. 4, 2021, S. 379–565, doi:10.1561/2200000087.
  3. Tamara G. Kolda und Brett W. Bader: Tensor Decompositions and Applications. In: SIAM Review. Band 51, Nr. 3, 2009, S. 455–500, doi:10.1137/07070111X.