Toeplitz-Matrix

spezielle Matrix in der linearen Algebra

Toeplitz-Matrizen sind (endliche oder unendliche) Matrizen mit einer speziellen Struktur. Sie sind nach Otto Toeplitz benannt, der ihre algebraischen und funktionalanalytischen Eigenschaften in dem 1911 erschienenen Artikel Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen untersuchte.[1]

Besetzungsmuster einer Toeplitz-Matrix der Größe 5×5

Definition

Bearbeiten

Eine Matrix   wird Toeplitz-Matrix genannt, wenn die Einträge   nur von der Differenz   der Indizes abhängen. Die Haupt- und Nebendiagonalen der Matrix sind also konstant. Eine endliche Toeplitz-Matrix mit   Zeilen und   Spalten ist somit durch die   Einträge am linken und oberen Rand (also die erste Zeile und erste Spalte) vollständig bestimmt.

Beispiel

Bearbeiten

Hier ein Beispiel einer  -Toeplitz-Matrix:

 

Eigenschaften

Bearbeiten

Quadratische Toeplitz-Matrizen sind persymmetrisch, das heißt, ihre Einträge ändern sich nicht, wenn sie an der Gegendiagonale der Matrix gespiegelt werden. Symmetrische Toeplitz-Matrizen sind sowohl bisymmetrisch als auch zentralsymmetrisch. Gilt bei einer quadratischen Toeplitz-Matrix   für alle  , so spricht man von einer Tridiagonal-Toeplitz-Matrix. Die Eigenwerte und Eigenvektoren von Tridiagonal-Toeplitz-Matrizen lassen sich explizit angeben. Eine Blockmatrix, deren Blöcke eine Toeplitz-Struktur aufweisen, heißt Block-Toeplitz-Matrix.

Anwendung

Bearbeiten

Für große lineare Gleichungssysteme  , bei denen   eine Toeplitz-Matrix ist, gibt es besonders effiziente Lösungsverfahren. Dabei werden häufig unendlich große Toeplitz-Matrizen durch ihre Erzeugungsfunktion beschrieben. Sofern diese Fourier-transformierbar sind, können die Operationen Matrizenmultiplikation und Matrixinversion auf einfache Multiplikationen bzw. Divisionen zurückgeführt werden. Umgekehrt nutzt man die Eigenschaften von Toeplitz-Matrizen auch bei der schnellen Fourier-Transformation.

Siehe auch

Bearbeiten
  • Hankel-Matrix, eine Matrix, deren Einträge in den von rechts oben nach links unten verlaufenden Diagonalen konstant sind.

Literatur

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Otto Toeplitz: Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen: I. Teil: Theorie der L-Formen. In: Mathematische Annalen. Band 70, Nr. 3, September 1911, ISSN 0025-5831, S. 351–376, doi:10.1007/BF01564502 (springer.com [abgerufen am 16. November 2022]).