Topologische Äquivalenz ist ein Begriff aus der Theorie dynamischer Systeme.

Anschaulich sind zwei dynamische Systeme in diesem Sinne äquivalent, wenn es eine Selbstabbildung des Phasenraums gibt, unter der die Bahnen des einen Systems den Bahnen des zweiten Systems entsprechen.

Definition

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Zwei dynamische Systeme   auf einem Phasenraum   heißen topologisch äquivalent, wenn es einen Homöomorphismus   gibt, so dass

 

für alle   gilt.

Man sagt dann, dass   den Fluss   in den Fluss   konjugiert.

Man spricht von der topologischen Äquivalenz zweier gewöhnlicher Differentialgleichungen (oder zweier Vektorfelder), wenn die zugehörigen Flüsse topologisch äquivalent sind.

Beispiele

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  • Die Flüsse der Differentialgleichungen   und   sind topologisch äquivalent. Der Homöomorphismus   konjugiert den Fluss   von   in den Fluss   von  .
  • Der Satz von Hartman-Grobman gibt (unter gewissen Voraussetzungen) die topologische Äquivalenz zwischen einer gewöhnlichen Differentialgleichung und ihrer Linearisierung. Sei x‘=Ax die Linearisierung von x‘=v(x), es gelte also   mit   und  . Wenn alle Eigenwerte des Operators A in der linken Halbebene liegen (also negative Realteile haben), dann sind die Differentialgleichung und ihre Linearisierung topologisch äquivalent.

Literatur

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  • V. I. Arnold: Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Volume 250, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-3879-0681-9