Die topologische Entropie ist eine Invariante, die die Komplexität dynamischer Systeme misst. Sie verallgemeinert den (maßtheoretischen) Begriff der Kolmogorow-Sinai-Entropie auf nicht notwendig maßerhaltende dynamische Systeme.

Die Entropie misst die Chaotizität eines dynamischen Systems. Man bezeichnet dynamische Systeme als chaotisch, wenn ihre Entropie positiv ist.

Definitionen

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Sei   ein kompakter topologischer Raum und   eine stetige Abbildung.

Definition nach Adler-Konheim-McAndrew

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Die topologische Entropie   des durch Iteration von   definierten dynamischen Systems wird wie folgt definiert.

Für eine endliche offene Überdeckung  

 

von   durch offene Mengen   bezeichnen wir mit

 

den Logarithmus der minimalen Anzahl von Mengen aus  , die bereits ganz   überdecken. Für zwei offene Überdeckungen   und   bezeichnen wir mit   die Überdeckung durch offene Mengen der Form

  mit  .

Mit diesen Bezeichnungen wird die topologische Entropie von   definiert als

 ,

wobei das Supremum über alle offenen Überdeckungen   genommen wird.

Metrische Definition nach Bowen und Dinaburg

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Sei   ein metrischer Raum und   wieder eine stetige Abbildung.

Für alle   definieren wir eine neue Metrik durch

 .

Für   sei

 

die maximale Kardinalität einer Menge   mit   für alle  .

Dann definieren wir die topologische Entropie von   durch

 .

Wenn   ein kompakter metrischer Raum ist, dann stimmt diese Definition mit der von Adler-Konheim-McAndrew überein.[1]

Beispiele

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  • Für eine Isometrie   oder allgemeiner eine Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante   ist  .
  • Für eine logistische Abbildung   mit   ist  .
  • Die topologische Entropie der Winkelverdopplungsabbildung ist  .
  • Die topologische Entropie der Shiftabbildung auf   Symbolen ist  .[2]

Eigenschaften

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  •  .
  • Für einen Homöomorphismus ist  .
  •   für jeden Homöomorphismus   und beliebige  .
  • Die topologische Entropie hängt nur von der Topologie, nicht von der zugrundeliegenden Metrik ab.

Literatur

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  • Luis Barreira, Claudia Valls: Dynamical systems. An introduction. Translated from the 2012 Portuguese original. Universitext. Springer, London 2013, ISBN 978-1-4471-4834-0.
  • R. L. Adler, A. G. Konheim, M. H. McAndrew: Topological entropy. In: Trans. Amer. Math. Soc. 114, 1965, S. 309–319.
  • Rufus Bowen: Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces. In: Trans. Amer. Math. Soc. 153, 1971, S. 401–414.
  • E. I. Dinaburg: A connection between various entropy characterizations of dynamical systems. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 35, 1971, S. 324–366. (russisch)

Einzelnachweise

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  1. Rufus Bowen: Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces. In: Trans. Amer. Math. Soc. 153, 1971, S. 401–414.
  2. Jacques M. Bahi, Christophe Guyeux: Discrete dynamical systems and chaotic machines. Theory and applications. Chapman & Hall/CRC Numerical Analysis and Scientific Computing. CRC Press, Boca Raton, FL 2013, ISBN 978-1-4665-5450-4.