Kinetische Energie

Energie eines sich bewegenden Körpers
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Die kinetische Energie (von altgriechisch κίνησις kínēsis, deutsch ‚Bewegung‘) oder auch Bewegungsenergie oder selten Geschwindigkeitsenergie ist die Energie, die ein Objekt aufgrund seiner Bewegung enthält. Sie entspricht der Arbeit, die aufgewendet werden muss, um das Objekt aus der Ruhe in die momentane Bewegung zu versetzen. Sie hängt von der Masse und der Geschwindigkeit des bewegten Körpers ab.

Als Formelzeichen für die kinetische Energie wird häufig oder verwendet. Die SI-Maßeinheit der kinetischen Energie ist das Joule.[1]

Das Konzept der kinetischen Energie als eine Größe, die bei elastischen Stößen und vielen anderen mechanischen Vorgängen erhalten bleibt, wurde als vis viva (‚Lebendige Kraft‘) von Gottfried Wilhelm Leibniz eingeführt, der darin in Streit mit den Anhängern von René Descartes die korrekte Erhaltungsgröße in der Mechanik sah (1686). Diese Größe war allerdings um den Faktor 2 größer als die heute gültige kinetische Energie. Der Faktor 12 in der Formel für die kinetische Energie findet sich schon 1726 bei Daniel Bernoulli.[2] Das eigentliche Energiekonzept bildete sich aber erst im 19. Jahrhundert heraus, insbesondere in der Schule der angewandten Mathematik in Frankreich und mit dem Aufkommen der Thermodynamik. In der Mechanik des 18. Jahrhunderts, deren Hauptuntersuchungsgegenstand die Himmelsmechanik war, spielte es noch keine große Rolle.[3] Die Ausdrücke „kinetische Energie“ und „potentielle Energie“ wurden 1859 von dem schottischen Ingenieur William J. M. Rankine geprägt.[4]

Kinetische Energie in der klassischen Mechanik

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Massenpunkt

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In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie   eines Massenpunktes proportional zu seiner Masse   und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit  :

 .

Fährt beispielsweise ein Auto der Masse   mit einer Geschwindigkeit von  , hat es demzufolge eine kinetische Energie von   (das Joule,  , ist die SI-Einheit der Energie).

Wenn man den Bewegungszustand des Körpers nicht durch seine Geschwindigkeit  , sondern durch seinen Impuls   beschreibt, wie das u. a. in der Hamiltonschen Mechanik üblich ist, so gilt für die kinetische Energie (wegen  )

 .

Einfache Herleitung

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Wird ein Körper der Masse   aus der Ruhe heraus auf die Geschwindigkeit   beschleunigt, so muss man dafür die Beschleunigungsarbeit   zufügen. Bei konstanter Kraft gilt

 ,

wobei   die in Richtung der Kraft zurückgelegte Strecke ist. Die Kraft erteilt dem Körper eine gleichmäßige Beschleunigung  , nach der Grundgleichung der Mechanik ist  . Nach einer Zeit   ist die Geschwindigkeit   erreicht, und es wurde die Strecke   zurückgelegt. Alles oben eingesetzt, ergibt die Beschleunigungsarbeit

 .

Da die kinetische Energie in Ruhe den Wert Null hat, erreicht sie nach dem Beschleunigungsvorgang genau diesen Wert  . Folglich beträgt die kinetische Energie eines Körpers der Masse  , der sich mit der Geschwindigkeit   bewegt

 .

Bewegung in einem Koordinatensystem

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Beschreibt man die Bewegung eines Körpers in einem Koordinatensystem, so lässt sich die kinetische Energie je nach Wahl des Koordinatensystems wie folgt berechnen:

 
 
 
 

Dabei bedeutet der Punkt über der Koordinate ihre zeitliche Änderung, die Ableitung nach der Zeit. Die Formeln berücksichtigen nicht die Energie, die möglicherweise in der Eigenrotation des Körpers steckt.

Starre Körper

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Die kinetische Energie eines starren Körpers mit der Gesamtmasse   und der Geschwindigkeit   seines Schwerpunktes ist die Summe der Energie aus der Bewegung des Schwerpunkts (Translationsenergie) und der Rotationsenergie aus der Drehung um den Schwerpunkt:

 

Hier ist   das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und   die Winkelgeschwindigkeit der Drehung.

Mit dem Trägheitstensor   wird dies allgemein geschrieben als:

 

Hydrodynamik

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In der Hydrodynamik wird oft statt der kinetischen Energie die kinetische Energiedichte angegeben. Diese wird meistens durch ein kleines   oder   ausgedrückt:

 

Hierbei bezeichnet   die Dichte und   das Volumen.

Kinetische Energie in der relativistischen Mechanik

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Relativistische und klassische kinetische Energie im Vergleich, mit  

In der relativistischen Physik gilt die oben angegebene Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit nur näherungsweise für Geschwindigkeiten deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Aus dem Ansatz, dass die kinetische Energie   die Differenz aus Gesamtenergie und Ruheenergie ist, folgt:

 

Dabei ist   die Lichtgeschwindigkeit,   die Masse und   der Lorentzfaktor

 

Aus der Taylor-Entwicklung nach   erhält man

 ,

also für   wieder die kinetische Energie der klassischen Mechanik.

Da die Energie über alle Grenzen wachsen müsste, wenn die Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht,   ist es nicht möglich, einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen.

Das Diagramm rechts zeigt die relativistische kinetische Energie und die nach der klassischen Mechanik als Funktion der Geschwindigkeit (gemessen in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit) für einen Körper mit der Masse von  .

Da die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers vom Bezugssystem abhängt, gilt dies auch für dessen kinetische Energie. Das gilt in klassischer und in relativistischer Physik.

Anwendungsbeispiele
 
Relativistische Geschwindigkeit eines Elektrons nach Durchlaufen eines elektrischen Felds

Im elektrischen Feld nimmt die Energie eines Elektrons der Ladung   und der Masse   linear mit der durchlaufenen Beschleunigungsspannung   zu. Die kinetische Energie ist nun die Differenz der relativistischen Gesamtenergie   und der Ruheenergie  0.[5] Die kinetische Energie   ist also:

 

Beachtet man, dass für die Gesamtenergie

 

gilt ( : relativistischer Impuls) und zwischen Impuls und Gesamtenergie der Zusammenhang

 

besteht, folgt für die Gesamtenergie aus   also:

 

Berechnet man nun die Differenz aus   und  , setzt den Ausdruck gleich   und löst nach   auf, erhält man abschließend:

  mit der Ruheenergie eines Elektrons  

Bei Beschleunigungsspannungen unterhalb 1 kV lässt sich die Geschwindigkeit aus dem klassischen Ansatz für die kinetische Energie abschätzen, bei höheren Energien muss relativistisch gerechnet werden. Bereits bei einer Spannung von 10 kV erreichen die Elektronen eine Geschwindigkeit von fast 20 % der Lichtgeschwindigkeit, bei 1 MV 94 %.

Der Large Hadron Collider führt Protonen eine kinetische Energie von 6,5 TeV zu. Diese Energie ist etwa achttausend Mal größer als die Ruheenergie eines Protons. Bei einer Kollision zwischen entgegengesetzt beschleunigten Protonen können Teilchen mit einer entsprechend hohen Ruheenergie entstehen.

Kinetische Energie in der Quantenmechanik

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In der Quantenmechanik ist der Erwartungswert   der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse  , welches durch die Wellenfunktion   beschrieben wird, gegeben durch

 ,

wobei   das Quadrat des Impulsoperators des Teilchens ist.

Im Formalismus der Dichtefunktionaltheorie ist nur vorausgesetzt, dass die Elektronendichte bekannt ist, das heißt, dass die Wellenfunktion formal nicht bekannt sein muss. Mit der Elektronendichte   ist das exakte Funktional der kinetischen Energie für   Elektronen unbekannt; falls jedoch im Fall   ein einzelnes Elektron betrachtet wird, so kann die kinetische Energie als

 

geschrieben werden, wobei   das Weizsäcker-Funktional der kinetischen Energie ist.

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. vergleiche 1,602·10−19 J = 1 eV = 1,602·10−19 C · V = 1,602·10−19 A·s·V = 1,602·10−19 W·s = 3,827·10−23 Kilokalorien kcal (Liste von Größenordnungen der Energie).
  2. István Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien. Birkhäuser, S. 71.
  3. Max Jammer: Artikel Energie. In: Donald Borchert (Hrsg.): Encyclopedia of Philosophy. Thomson Gale, 2006.
  4. Paul Diepgen, Heinz Goerke: Aschoff/Diepgen/Goerke: Kurze Übersichtstabelle zur Geschichte der Medizin. 7., neubearbeitete Auflage. Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1960, S. 40.
  5. A. P. French: Die spezielle Relativitätstheorie – M.I.T. Einführungskurs Physik 1968, S. 19–23.