Transnormale Funktion

In der Mathematik spielen transnormale Funktionen insbesondere im Zusammenhang mit isoparametrischen Flächen (mit nur der Richtung nach verschiedenen Parametern) eine Rolle.

Definition

Es sei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $f\colon M\to \mathbb {R}$ heißt transnormal, wenn es eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $b\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit

$|\nabla f(x)|^{2}=b(f(x))$

für alle $x\in M$ gibt. Dabei bezeichnet $\nabla f$ den Gradienten von $f$ und $|\cdot |$ die mittels der Riemannschen Metrik definierte Norm.

Eigenschaften

• Die Niveaumengen einer transnormalen Funktion sind Parallelflächen, d. h. sie haben konstanten Abstand.

• Wenn $f$ nach unten oder oben beschränkt ist, dann sind die Niveaumengen des globalen Minimums bzw. Maximums Untermannigfaltigkeiten. (Sie werden als Fokalmannigfaltigkeiten $V_{-}$ bzw. $V_{+}$ bezeichnet.)

• Die Niveaumengen regulärer Werte sind Sphärenbündel über den Fokalmannigfaltigkeiten.

• Transnormale Funktionen auf $S^{n}$ oder $\mathbb {R} ^{n}$ sind isoparametrisch.

Beispiele

• Sei $M=S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ die Standard-Sphäre und $f$ die Einschränkung des homogenen Polynoms $x_{1}^{2}+\ldots +x_{r}^{2}-x_{r+1}^{2}-\ldots -x_{n+1}^{2}$ auf $S^{n}$. ($1<r<n+1$) Dann ist $f^{2}$ eine transnormale Funktion. Die Fokalmannigfaltigkeit $V_{+}$ ist in diesem Fall die Vereinigung zweier Sphären der Dimensionen $r-1$ und $n-r-1$.
• Sei ebenfalls $M=S^{n}$ die Standard-Sphäre und für einen Punkt $p\in S^{n}$ sei $\theta (p)$ der Abstand zwischen $p$ und dem Nordpol (auf der Sphäre, mit anderen Worten: der Winkel im Nullpunkt zwischen $p$ und dem Nordpol). Dann definiert $f(p)=\cos \theta (p)$ eine transnormale Funktion $f\colon S^{n}\to \left[-1,1\right]$, deren Fokalmannigfaltigkeiten der Nordpol und der Südpol sind.
• Sei $T^{2}=\left\{(x,y,z)=((R+r\cos \theta )\cos \phi ,(R+r\cos \theta )\sin \phi ,r\sin \theta )\right\}\subset \mathbb {R} ^{3}$ ein Rotationstorus, ($0<r<R$). Dann ist $f(x,y,z)=z$ eine nach oben und unten unbeschränkte transnormale Funktion.

Literatur

• Qi Ming Wang: Isoparametric functions on Riemannian manifolds. I. Math. Ann. 277 (1987), no. 4, 639–646.
• Reiko Miyaoka: Transnormal functions on a Riemannian manifold. Differential Geom. Appl. 31 (2013), no. 1, 130–139.