In der Differentialtopologie bezeichnet Transversalität einen Begriff, der die gegenseitige Lage zweier Untermannigfaltigkeiten beschreibt. Transversalität beschreibt in gewissem Sinne das Gegenteil von Tangentialität und stellt den „Normalfall“ (siehe Stabilität und Transversalitätssatz) dar.

Definition

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Seien   und   differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit   wird der Tangentialraum am Punkt   und mit   das totale Differential bezeichnet.

  • Sei weiterhin   eine differenzierbare Abbildung und   eine Untermannigfaltigkeit. Die Abbildung   heißt transversal zu  , falls gilt:
 
  • Seien   Untermannigfaltigkeiten. Die Untermannigfaltigkeit   heißt transversal zu  , falls gilt:
 .
Dies ist äquivalent dazu, dass die natürliche Inklusionsabbildung   transversal ist zu  .

Bemerkungen

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  • Die Summe der Vektorräume ist im Allgemeinen keine direkte Summe.
  • Transversalität von Untermannigfaltigkeiten ist eine symmetrische Relation:  , man sagt deshalb auch „  und   schneiden sich transversal“.
  • Zwei disjunkte Untermannigfaltigkeiten schneiden sich immer transversal.

Beispiele

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  •   ist transversal zu   genau dann, wenn  :
    •  : Im einzigen Schnittpunkt   stimmen die Tangentialräume überein, ihre Summe ergibt nicht den ganzen Tangentialraum von  .
    •  : Kein Schnittpunkt, also transversal.
    •  : In den (beiden) Schnittpunkten ergibt die Summe der Tangentialräume der Untermannigfaltigkeiten den ganzen Tangentialraum.
  • Zwei Geraden in   schneiden sich genau dann transversal, wenn sie nicht identisch sind.
  • Zwei Geraden in   schneiden sich genau dann transversal, wenn sie sich nicht schneiden.
  •   und   in   schneiden sich genau dann transversal, wenn  .

Motivation

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Die ursprüngliche Motivation für die Definition der Transversalität liegt in der Frage, wann das Urbild einer Untermannigfaltigkeit   unter einer differenzierbaren Abbildungen   wieder eine Untermannigfaltigkeit (von  ) ist. Dies ist der Fall, wenn   transversal ist zu  .

Um dies zu zeigen, schreibt man   lokal als Niveaumenge einer differenzierbaren Abbildung  , also  . Die zu erfüllende Bedingung lautet nun:   ist regulärer Wert von  , das heißt, die Tangentialabbildung   ist surjektiv für alle  . Durch elementare Umformungen zeigt man, dass diese Bedingung äquivalent ist zu  , was der Definition der Transversalität entspricht.

Die Umkehrung obiger Aussage trifft nicht zu. Dies sieht man wie folgt: Sei  ,   und seien   Einbettungen der   in Form geschlossener Kurven, die sich an einer Stelle tangential treffen (figure-eight). Fasse   als eingebettete Untermannigfaltigkeit auf. Dann ist  , da   Einbettung.

Stabilität

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Eine Eigenschaft einer differenzierbarer Abbildungen   heißt stabil, wenn für jede differenzierbare Homotopie   gilt: Hat   diese Eigenschaft, dann existiert ein   derart, dass   diese Eigenschaft für alle   auch besitzt.

Der Stabilitätssatz besagt, dass für differenzierbare Abbildungen   die Transversalität zu einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit   eine stabile Eigenschaft ist, falls   kompakt ist.

Weitere Sätze

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Weitere wichtige Sätze in diesem Kontext sind der Transversalitätssatz und der Homotopietransversalitätssatz. Sie besagen im Wesentlichen, dass zu jeder differenzierbaren Abbildungen eine homotope Abbildung existiert, welche zu einer vorgegebenen Untermannigfaltigkeit transversal ist und dass transversale Homotopien aus Familien von Abbildungen bestehen, welche für fast alle Parameterwerte transversal sind. Diese Sätze ermöglichen die allgemeine Definition von Schnittzahlen mit Hilfe von Homotopie, da sich diese nur für transversale Schnitte direkt definieren lassen.

Generizität

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Eine Eigenschaft von Funktionen heißt generisch, wenn die Menge der Funktionen mit dieser Eigenschaft offen und dicht im Raum aller Funktionen ist.

Transversalität (zu einer gegebenen Untermannigfaltigkeit  ) ist eine generische Eigenschaft differenzierbarer Abbildungen  : Aus der Stabilität folgt die Offenheit und aus dem Transversalitätssatz die Dichtheit der transversalen Abbildungen im Raum aller differenzierbaren Abbildungen.

Philosophie

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In der Philosophie wird der Begriff der Transversalität von Wolfgang Welsch aufgegriffen.[1]

Einzelnachweise

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  1. W. Welsch: Vernunft. Die zeitgenössische Vernunftkritik und das Konzept der transversalen Vernunft. Frankfurt a. M. 1995.

Literatur

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  • Victor Guillemin, Alan Pollack: Differential topology. Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1974, ISBN 0-13-212605-2.
  • Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Kobordismentheorie, Lecture Notes in Mathematics 178, Springer Verlag (1970).