Trapez-Methode
Das implizite Trapez-Verfahren ist ein Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswert-Problems
Es lässt sich sowohl den Runge-Kutta-Verfahren als auch den Adams-Moulton-Verfahren zuordnen. Das Trapezverfahren ist A-stabil mit der Besonderheit, dass für die Schwingungsgleichung kein Amplitudenfehler auftritt[1]. Das Verfahren lässt sich aus der Trapezregel herleiten:
mit
Herleitung
BearbeitenFür die Herleitung von Einschrittverfahren wird das Anfangswertproblem meist in der zu ihr äquivalenten Integralgleichung umgeformt[2]
Nun besteht die Idee bei der impliziten Trapez-Methode eine simple Quadraturformel für das Integral zu benutzen: die Trapezregel. Man approximiert in jedem -ten Schritt den Integranden wie folgt
Zusammen ergibt dies die Trapez-Methode[3]
Lösungsmethode
BearbeitenZur Lösung dieses, in der Regel nichtlinearen, Gleichungssystems können verschiedene numerische Verfahren genutzt werden. Für das quadratisch konvergente Newton-Verfahren ergibt sich konkret:
Man erhält also ein lineares Gleichungssystem
wobei J die Jacobi-Matrix
- ,
die Einheitsmatrix und der Iterationsschritt ist.
Stabilität
BearbeitenMit der Testgleichung bekommt man die Stabilitätsfunktion
Auf der imaginären Achse gilt , daher ist die Trapezmethode A-stabil.
Schrittweite h
BearbeitenDie (variable) Schrittweite kann aus folgender Beziehung berechnet werden:
- ;
bezeichnet den zugelassenen lokalen Diskretisierungsfehler. Der Ansatz liefert für die implizite Trapez-Methode
- .
Dabei ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts der Jacobi-Matrix (Spektralradius). Die numerische Bestimmung der Eigenwerte ist sehr zeitaufwendig; für den Zweck der Schrittweitenberechnung ist es im Allgemeinen ausreichend die Gesamtnorm heranzuziehen, die immer größer oder gleich der Spektralnorm ist. N ist der Rang der Jacobi-Matrix und deren Elemente.
Literatur
Bearbeiten- Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 5. Auflage, Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8, S. 343.
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ M. Kloker: Numerische Löser (Zeitintegrationsverfahren) für die Gewöhnliche Modelldifferentialgleichung y'=αy (PDF; 2,2 MB), Universität Stuttgart, 1996
- ↑ Reusken, Arnold.: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-25544-3, S. 378.
- ↑ Reusken, Arnold.: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-25544-3, S. 383.