Traum der Sophomores

Der Traum der Sophomores ist die Bezeichnung für zwei Identitäten, die ursprünglich von Johann I Bernoulli stammen.

Rot: Tetrationsfunktion zweiter Ordnung, Blau: Kehrwert der Tetrationsfunktion zweiter Ordnung

Die Identitäten lauten:

$\int _{0}^{1}{x}^{-x}\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}\approx 1{,}29128599706266354$

$\int _{0}^{1}{x}^{x}\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\approx 0{,}7834305107121344$

Im Integral steht die Tetrationfunktion zweiter Ordnung $x^{x}$, das heißt die Potenz mit gleicher Zahl in Basis und Exponent (der ersten Stufe iterierter Potenzierung bzw. des Potenzturms).

Die Bezeichnung Sophomore steht für Studenten im zweiten Studienjahr. Die Identitäten wurden von Johann I Bernoulli im Jahre 1697 entdeckt und die Bezeichnung Traum der Sophomores (englisch: Sophomore's Dream) stammt aus einem Buch von Jonathan Borwein, David H. Bailey und Roland Girgensohn. Sie spielt auf die im Allgemeinen inkorrekte Freshman-Gleichung an (Freshman ist ein Student im ersten Semester) ${(x+y)}^{n}=x^{n}+y^{n}$.

Beweis

Das Integral vom Kehrwert der Tetrationsfunktion zweiter Ordnung kann mit der Taylorreihe der Exponentialfunktion dargestellt werden:

$\int _{0}^{1}{x}^{-x}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\exp[-x\ln(x)]\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}[-x\ln(x)]^{k}\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {1}{k!}}[-x\ln(x)]^{k}\mathrm {d} x=$

$=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }-{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\exp(-x){\biggr ]}{\frac {1}{k!}}[-y\ln(y)]^{k}[y=\exp(-x)]\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\exp(-x)[x\exp(-x)]^{k}\mathrm {d} x=$

$=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}x^{k}\exp[-(k+1)x]\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(k+1)x{\biggr ]}{\frac {1}{(k!)(k+1)^{k+1}}}[(k+1)x]^{k}\exp[-(k+1)x]\mathrm {d} x=$

$=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(k!)(k+1)^{k+1}}}x^{k}\exp(-x)\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)^{k+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}$

Analog erfolgt der Beweis für die zweite von den zwei Formeln, welche den Traum der Sophomores bilden.

Verallgemeinerungen

Zu den beiden Gleichungen des Traums der Sophomores können analoge Ausdrücke abgeleitet werden:

$\int _{0}^{1}{x}{\widehat {}}(-v{x}^{w})\mathrm {d} x=\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {v^{a}}{{(aw+1)}^{a+1}}}$

Literatur

• Johann Bernoulli: Opera Omnia, Band 3, S. 376–381.
• Jonathan Borwein, David H. Bailey, Roland Girgensohn: Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery, 2004, S 4, 44; ISBN 9781568811369.
• William Dunham: The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Kapitel 3, The Bernoullis (Johann and x^x), Princeton University Press, 2005, S. 46–51; ISBN 9780691095653.
• George Pólya, Gabor Szegő: Problems and Theorems in Analysis, 1998, Teil 1, Problem 160, S. 36

Weblinks

• Einträge in OEIS: A083648 und A073009
• Eric Weisstein, Sophomore's Dream, Mathworld