Typ-I-Von-Neumann-Algebra

Typ-I-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den ersten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Typ-I-Von-Neumann-Algebren nennt man auch diskret.

Definitionen

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra $A$ ist selbstadjungiertes idempotentes Element $e$ , das heißt, es gilt $e=e^{*}=e^{2}$ . Eine solche Projektion heißt abelsch, falls die Algebra $eAe\subset A$ kommutativ ist. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ I (lies: Typ eins), falls sie eine abelsche Projektion $e$ besitzt, so dass das Einselement die kleinste Projektion aus dem Zentrum der Algebra ist, deren Produkt mit $e$ gleich $e$ ist. Sie heißt genauer vom Typ I_n, wenn das Einselement Summe von $n$ paarweise orthogonalen, äquivalenten abelschen Projektionen ist. Dabei heißen zwei Projektionen $e_{1},e_{2}$ orthogonal, falls $e_{1}e_{2}=0$ , und sie heißen äquivalent, falls es ein Element $v\in A$ gibt mit $e_{1}=v^{*}v,e_{2}=vv^{*}$ . Die Summe ist bei unendlichem $n$ im Sinne der starken Operatortopologie zu verstehen.^[1]

Beispiele

Abelsche Von-Neumann-Algebren sind vom Typ I, denn in diesem Fall ist das Einselement selbst eine abelsche Projektion.
Die Algebra $A=L(H)$ der stetigen linearen Operatoren über einem Hilbertraum $H$ ist vom Typ I_n, wobei $n$ die Dimension des Hilbertraums ist. Ist nämlich $(\xi _{i})_{i\in I}$ eine Orthogonalbasis und ist $e_{i}$ die Projektion auf den eindimensionalen Unterraum $\mathbb {C} \xi _{i}$ , so sind die $e_{i}$ abelsch, untereinander äquivalent und es ist $\textstyle \sum _{i=I}e_{i}=1$ .

Eigenschaften

Wir betrachten hier nur Von-Neumann-Algebren auf einem separablen Hilbertraum. Dann hat man für Typ-I_n-Algebren nur die Fälle $n=1,2,3,\ldots ,\infty$ zu betrachten; anderenfalls müsste man für den unendlichen Fall noch nach Mächtigkeiten unterscheiden.

Jede Von-Neumann-Algebra $A$ vom Typ I zerfällt in eine direkte Summe

A=Ap_{1}\oplus Ap_{2}\oplus Ap_{3}\oplus \ldots \oplus Ap_{\infty }

,

wobei

jedes $p_{n}$ ist eine Projektion aus dem Zentrum von $A$ (möglicherweise 0)
die $p_{n}$ sind paarweise orthogonal
$1=p_{\infty }+p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots$ im Sinne der starken Operatortopologie.
$Ap_{n}=p_{n}Ap_{n}$ ist eine Von-Neumann-Algebra vom Typ I_n auf dem Hilbertraum $p_{n}(H)$ , falls $p_{n}\not =0$ .

Jede Von-Neumann-Algebra $A$ vom Typ I_n ist isomorph zum Tensorprodukt $L(H){\overline {\otimes }}\,\mathrm {cen} (A)$ , wobei $H$ ein n-dimensionaler Hilbertraum und $\mathrm {cen} (A)$ das Zentrum von $A$ ist.^[2]

Da die Zentren abelsche Von-Neumann-Algebren sind und diese bekannt sind, ist damit die Struktur der Typ-I-Von-Neumann-Algebren aufgedeckt; es handelt sich um direkte Summen von Tensorprodukten von Algebren $L(H)$ mit abelschen Von-Neumann-Algebren. Daraus ergibt sich leicht, dass jede endlich-dimensionale Von-Neumann-Algebra vom Typ I ist und isomorph zu einer endlichen direkten Summe von Matrixalgebren $L(\mathbb {C} ^{n})$ ist.^[3]

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann vom Typ I, wenn sie isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra mit abelscher Kommutante ist.^[4]

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Kapitel 5.5: Von Neumann Algebras of Type I
↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.5
↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.6
↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 5.5.11

[1] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Kapitel 5.5: Von Neumann Algebras of Type I

[2] R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.5

[3] R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.6

[4] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 5.5.11

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