U-Statistik

Eine U-Statistik ist ein erwartungstreuer Schätzer im Bereich der asymptotischen Statistik. Sie wurde 1948 von Wassily Hoeffding erstmals definiert, wobei das „U“ für die Unverzerrtheit des Schätzers steht.

Definition

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\left(X_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge (stochastisch) unabhängiger und identisch verteilter $d$-dimensionaler Zufallsvektoren mit Verteilungsfunktion $F:\mathbb {R} ^{d}\to [0,1]$. Weiter seien $k,m\in \mathbb {N}$ mit $k\leq m$ und $\psi :(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to \mathbb {R}$ eine messbare und symmetrische Funktion, wofür das zweite Moment existiert. Dann heißt U-Statistik der Ordnung k mit Kern $\psi$ die Zufallsvariable

$U_{m}:=U_{m}(X_{1},\dots ,X_{m}):={\frac {1}{m \choose k}}\sum _{1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq m}\psi (X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{k}})$

Bemerkungen

Es handelt sich bei der U-Statistik um einen Sonderfall der V-Statistik, die 1947 durch Richard von Mises eingeführt wurden. Diese beschreiben die asymptotische Verteilung der sogenannten von-Mises-Funktionalen und werden zur Verwirrung der Allgemeinheit ebenfalls so genannt.

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung der U-Statistik wurde 1951 durch Lehmann formuliert.

Beispiele

Für die ersten niedrigen Werte für $k$ folgen bei bestimmter Wahl von $\psi$ der zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy, die Stichprobenvarianz, Ginis mittlere absolute Differenz, die Stichprobenkovarianz, Wilcoxons Ein-Stichproben-Statistik oder auch Kendalls Tau.

Literatur

• Norbert Henze: Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2022, ISBN 978-3-662-65610-5, doi:10.1007/978-3-662-65611-2 (springer.com [abgerufen am 5. Mai 2024]). 
• Rabi Bhattacharya, Manfred Denker: Asymptotic Statistics. Birkhäuser Basel, Basel 1990, ISBN 978-3-0348-9964-2, doi:10.1007/978-3-0348-9254-4 (englisch, springer.com [abgerufen am 5. Mai 2024]).