Unendlich-Kategorie

In der Mathematik ist der Begriff der Unendlich-Kategorie, $\infty$-Kategorie oder Quasikategorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der Kategorie.

Während man in einer Kategorie Morphismen zwischen Objekten und in einer 2-Kategorie zusätzlich 2-Morphismen zwischen Morphismen hat, gibt es in einer Unendlich-Kategorie $k$-Morphismen zwischen $k-1$-Morphismen für alle $k=1,2,\dotsc$

Definition

Eine Unendlich-Kategorie ist eine simpliziale Menge $S_{*}$, die die schwache Kan-Erweiterungs-Eigenschaft erfüllt:

Für $0<i<n$ kann jede simpliziale Abbildung $\sigma _{0}\colon \Lambda _{i}^{n}\to S_{*}$ zu einer simplizialen Abbildung $\sigma \colon \Delta ^{n}\to S_{*}$ fortgesetzt werden.

Dabei bezeichnet $\Delta ^{n}$ den $n$-dimensionalen Standardsimplex und $\Lambda _{i}^{n}$ das durch Weglassen von $\partial _{i}\Delta ^{n}$ aus $\partial \Delta ^{n}$ entstehende „Horn“.

Beispiele

• Kan-Komplexe sind Unendlich-Kategorien, bei denen die gewünschte Fortsetzung auch für $i=0$ und $i=n$ stets existiert.
• Der Nerv einer kleinen Kategorie ist eine Unendlich-Kategorie, in der die gewünschte Fortsetzung stets eindeutig ist. Umgekehrt ist eine Unendlich-Kategorien mit eindeutigen Fortsetzungen isomorph zum Nerven einer kleinen Kategorie.
• Das Produkt und Koprodukt (als simpliziale Mengen) von Unendlich-Kategorien ist eine Unendlich-Kategorie.

Objekte, Morphismen und Funktoren

Ein Objekt einer Unendlich-Kategorie ist ein 0-Simplex $x\in S_{0}$. Ein Morphismus einer Unendlich-Kategorie ist ein 1-Simplex $f\in S_{1}$. Seine Ränder $X=d_{1}f$ und $Y=d_{0}f$ heißen Quelle und Ziel des Morphismus. Man sagt dann, $f$ ist ein Morphismus von $X$ nach $Y$. Für jedes Objekt $X$ wird die degenerierte Kante $s_{0}(X)$ als Identitätsmorphismus $\mathrm {id} _{X}$ von $X$ bezeichnet.

Eine Homotopie zwischen zwei Morphismen $f,g\colon X\to Y$ ist ein 2-Simplex $\sigma$ mit $d_{0}\sigma =\mathrm {id} _{Y}$, $d_{1}\sigma =f$ und $d_{2}\sigma =g$.

Ein Morphismus $h\colon X\to Z$ heißt Komposition zweier Morphismen $f\colon X\to Y$ und $g\colon Y\to Z$, wenn es einen 2-Simplex $\sigma$ mit $d_{0}\sigma =g,d_{1}\sigma =h,d_{2}\sigma =f$ gibt. Die schwache Kan-Eigenschaft garantiert, dass eine Komposition von $g$ nach $f$ stets existiert, sie ist aber nur bis auf Homotopie eindeutig bestimmt.

Die Homotopie-Kategorie $h{\mathcal {C}}$ einer Unendlich-Kategorie ${\mathcal {C}}$ hat als Objekte die Objekte von ${\mathcal {C}}$ und als Morphismen die Homotopieklassen von Morphismen in ${\mathcal {C}}$. Die Homotopieklasse von $\mathrm {id} _{X}$ ist der Identitätsmorphismus von $X$ in $h{\mathcal {C}}$ und die wohldefinierte Komposition von Homotopieklassen definiert die Komposition von Morphismen.

Ein Isomorphismus in der Unendlich-Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist ein Morphismus, dessen Homotopieklasse ein Isomorphismus in $h{\mathcal {C}}$ ist.

Ein Funktor von Unendlich-Kategorien ist eine simpliziale Abbildung $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$. Auf der Menge der Funktoren ${\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ist wieder die Struktur einer Unendlich-Kategorie erklärt. Sie wird mit $\mathrm {Fun} ({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})$ bezeichnet.

Weblinks

• Jacob Lurie: Kerodon