Die Ungleichung von Frobenius ist ein Ergebnis der Linearen Algebra, einem der Teilgebiete der Mathematik. Sie ist nach Georg Frobenius benannt und behandelt die Beziehungen zwischen den Rängen dreier hintereinander ausgeführter linearer Abbildungen.

Formulierung der Ungleichung

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Die Ungleichung besagt folgendes:[1][2]

Gegeben seien vier Vektorräume   über einem beliebigen Körper   und dazu drei lineare Abbildungen     ,       und      .
Dann gilt:
   .[3]

Beweisskizze

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Sei   ein Komplementärraum von     in    , also

  .

Dann folgt

 

und weiter

  .

Damit bekommt man

 

also insgesamt die behauptete Ungleichung.

Anmerkung

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Da bei beliebigen Vektorräumen der Dimensionsbegriff und auch der Nachweis der Existenz eines Komplementärraums die Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms erfordert, ist im Falle, dass man diese Annahme nicht treffen möchte, von Vektorräumen endlicher Dimension auszugehen. Für solche ist die Ungleichung stets gültig.

Literatur

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Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra (= De-Gruyter-Lehrbuch). 12., überarbeitete Auflage. Verlag Walter de Gruyter, Berlin (u. a.) 2003, ISBN 3-11-017963-6, S. 77–78, 375–376.
  2. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Unter Einschluß der linearen Algebra. Teil 1 (= Mathematische Leitfäden). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0, S. 389 (MR1312830).
  3. Der Übersichtlichkeit der Formeln wegen nimmt man anstelle der Darstellung der Komposition in der Form   die kürzere multiplikative Darstellung in der Form   und entsprechend in den anderen Fällen.