Ungleichung von Hilbert

Ungleichung der Analysis

Die Ungleichung von Hilbert (englisch Hilbert’s inequality) ist eine klassische Ungleichung der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Sie geht auf eine Arbeit des deutschen Mathematikers David Hilbert aus dem Jahre 1888 zurück und gibt eine obere Abschätzung zu gewissen Doppelsummen positiver reeller Zahlen. Hilberts Ungleichung wurde von zahlreichen Autoren verschärft, verallgemeinert und abgewandelt. Nicht zuletzt haben Hermann Weyl – etwa in seiner Inauguraldissertation Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems von 1908 – und insbesondere Godfrey Harold Hardy sie intensiver Untersuchung unterzogen.[1][2]

Formulierung der Ungleichung

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Hilberts Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:[3]

Gegeben sei für eine natürliche Zahl   ein  -Tupel   positiver reeller Zahlen.
Dann gilt:
(H)    .

Verschärfungen

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Nach H. Frazer hat die letzte Ungleichung eine Verschärfung, in der die Kreiszahl durch einen besseren Abschätzungsfaktor ersetzt wird:[3]

(HF)    .

D. V. Widder zeigte die folgende stärkere Ungleichung:[3]

(HW)    .

Verwandte Ungleichung

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Fu Cheng Hsiang bewies die folgende verwandte Ungleichung:[3]

Gegeben seien eine natürliche Zahl   und dazu zwei  -Tupel   und   von nichtnegativen reellen Zahlen.
Dann gilt:
(HHs)    .

Analoga und Erweiterungen

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In Analogie und Erweiterung der obigen Ungleichungen gewinnt man entsprechende für Doppelreihen und -integrale:[4][5]

Für zwei Folgen   und   von nichtnegativen reellen Zahlen, die nicht beide lediglich   als Folgenglied haben, und zwei positive reelle Zahlen   mit   gilt stets:
(HH_1)    .
Für zwei reelle Funktionen  , die nicht beide die Nullfunktion sind, und zwei positive reelle Zahlen   mit   gilt stets:
(HH_2)    .
Zusatz: Es ist sowohl bei (HH_1) als auch bei (HH_2) der Abschätzungsfaktor   der bestmögliche.

Anmerkungen

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  • Für   spricht man in Bezug auf (HH_1) auch vom hilbertschen Doppelreihensatz (englisch Hilbert’s double series theorem).[4]
  • Hinsichtlich des allgemeinen Falls ist es heute üblich, die obigen Ungleichungen (HH_1) bzw. (HH_2) als hardy-hilbertsche Ungleichung (englisch Hardy-Hilbert’s inequality) bzw. als hardy-hilbertsche Integralungleichung (englisch Hardy-Hilbert’s integral inequality) zu bezeichnen.

Zwei weitere verwandte Ungleichungen

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Im Rahmen der Bemühungen, einen möglichst einfachen Beweis des hilbertschen Doppelreihensatzes zu liefern, wurden – beginnend in den Jahren 1920 bis 1925 mit Arbeiten von G. H. Hardy und Edmund Landau – zwei verwandte Ungleichungen für Reihen und Integrale gefunden und abgeleitet, welche beide unter dem Stichwort hardysche Ungleichung (englisch Hardy’s inequality) bekannt wurden. Es handelt sich um die folgenden:[6]

Für eine Folge   nichtnegativer reeller Zahlen, die nicht alle gleich   sind, und eine reelle Zahl   gilt stets:
(H_1)    .
Für eine reelle Funktion  , die nicht die Nullfunktion ist, und eine reelle Zahl   gilt stets:
(H_2)    .
Zusatz: Sowohl bei (H_1) als auch bei (H_2) ist der Abschätzungsfaktor   der bestmögliche.

Literatur

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Einzelnachweise und Fußnoten

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  1. D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 357–358
  2. G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. 1973, S. 226 ff
  3. a b c d Mitrinović, op. cit., S. 357
  4. a b Hardy et al., op. cit., S. 226
  5. Hinsichtlich des Übergangs von Doppelsummen auf Doppelreihen ist zu beachten, dass die Paarmengen   und   zueinander in Bijektion stehen und dass für   stets   ist.
  6. Hardy et al., op. cit., S. 239 ff