Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod

Die Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod ist eine stochastische Ungleichung innerhalb des Gebiets der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welche auf die beiden Mathematiker Giuseppe Ottaviani und Anatoli Skorokhod zurückgeht. Sie bezieht sich auf endliche Familien von stochastisch unabhängigen reellen Zufallsvariablen und stellt ein nützliches Hilfsmittel für Beweise im Umfeld des Starken Gesetzes der großen Zahlen dar.[1]

Formulierung der Ungleichung

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Der Darstellung von Heinz Bauer folgend lässt sich die Ungleichung angeben wie folgt:[1]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum   und darauf endlich viele unabhängige Zufallsvariablen  
Sei hierbei für  
 
gesetzt.
Dann ist für jeden Index   und für zwei reelle Zahlen   und  
die Ungleichung
  [2]
erfüllt.

Folgerungen: Ein Satz von Lévy und weitere Korollare

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Mit der Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod lassen sich der folgende Satz des französischen Mathematikers Paul Lévy herleiten und einige Korollare herleiten.

Der lévysche Satz besagt:[1]

Für jede unabhängige Folge reeller Zufallsvariablen   folgt aus der stochastischen Konvergenz der Reihe     die fast sichere Konvergenz dieser Reihe.

Daraus erhält man folgendes Korollar:

Ist   eine unabhängige Folge reeller Zufallsvariablen mit
(1)  
(2)  
so ist die Reihe   fast sicher konvergent.

Aus diesem Korollar gewinnt man dann unter Anwendung des kroneckerschen Lemmas unmittelbar das kolmogoroffsche Kriterium zum Starken Gesetz der großen Zahlen:[3]

Ist   eine unabhängige Folge von integrierbaren reellen Zufallsvariablen mit
(*)  
so genügt die Folge dem Starken Gesetz der großen Zahlen.

Anmerkungen

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  1. Die Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod (und auch Abwandlungen derselben) verbinden einige Autoren nur mit dem Namen von Giuseppe Ottaviani und bezeichnen diese als Ungleichung von Ottaviani bzw. als ottavianische Ungleichung (englisch Ottaviani’s inequality). Vielfach wird dabei auch allein der Fall   behandelt.[4][5][6]
  2. In dem Hochschultext von Peter Gänssler und Winfried Stute erscheint die Ungleichung (in einer anderen und sogar etwas allgemeineren Fassung) als Skorokhod-Ungleichung.[7]
  3. Die obige Darstellung der Ungleichung, welche unabhängige reelle Zufallsvariablen zugrunde legt, lässt sich in entsprechender Weise auch (etwa) für unabhängige borelmessbare Zufallsvariablen mit Werten in einem separablen Banachraum formulieren. Dabei tritt an die Stelle der obigen Betragsfunktion die Norm des Banachraums.[8]

Literatur

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Originalarbeiten

Monographien

  • Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie (= De Gruyter Lehrbuch). 5., durchgesehene und verbesserte Auflage. de Gruyter, Berlin / New York 2002, ISBN 3-11-017236-4 (MR1902050).
  • P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Hochschultext. Band 91). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1977, ISBN 3-540-08418-5 (MR0501219).
  • J. Hoffmann-Jørgensen: Probability with a View toward Statistics. Volume I (= Chapman & Hall Probability Series. Band 91). Chapman & Hall, New York 1994, ISBN 0-412-05221-0 (MR1278485).
  • Oleg Klesov: Limit Theorems for Multi-Indexed Sums of Random Variables (= Probability Theory and Stochastic Modelling). Springer Verlag, Heidelberg / New York / Dordrecht / London 2014, ISBN 978-3-662-44387-3, doi:10.1007/978-3-662-44388-0 (MR3244237).
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung (= Springer-Lehrbuch). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-322-96418-2.
  • Michel Ledoux, Michel Talagrand: Probability in Banach Spaces. Isoperimetry and Processes (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). Band 23). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1991, ISBN 3-540-52013-9 (MR1102015).
  • A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9 (MR0967761).

Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. a b c Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2002, S. 107–113
  2. Mit   wird die reelle Betragsfunktion bezeichnet.
  3. Das kolmogoroffsche Kriterium wird oft auch als Kolmogoroffs Erstes Gesetz der großen Zahlen bezeichnet. Vgl. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. 2014, S. 251!
  4. J. Hoffmann-Jørgensen: Probability with a View toward Statistics. 1994, S. 472–473
  5. Oleg Klesov: Limit Theorems for Multi-Indexed Sums of Random Variables. 2014, S. 30–31
  6. A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 491
  7. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 101
  8. Michel Ledoux, Michel Talagrand: Probability in Banach Spaces. 1991, S. 151–152