Ungleichung von Padoa

Die Ungleichung von Padoa (englisch Padoa’s inequality) ist eine fundamentale Ungleichung der Dreiecksgeometrie. Sie geht auf den italienischen Mathematiker Alessandro Padoa zurück und wurde von diesem im Jahre 1925 publiziert. Die Ungleichung setzt zwei aus den Seitenlängen eines Dreiecks gebildete Produkte in Beziehung und ist äquivalent mit der eulerschen Dreiecksungleichung.

Darstellung der Ungleichung

Padoas Ungleichung besagt Folgendes:

Ist in der euklidischen Ebene ein beliebiges Dreieck $ABC$ gegeben und haben dessen Seiten die Längen $a,b,c$, so gilt stets die Ungleichung

(P) $abc\geq \left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)$  .

Anmerkungen zum Beweis

Alsina und Nelsen folgend kann man die Ungleichung von Padoa unter Benutzung der sogenannten Ravi-Substitution mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel herleiten.

Die Ravi-Substitution setzt an bei der Tatsache, dass jede der drei Seiten von $ABC$ durch den mit dem Inkreis gemeinsamen Tangentialpunkt in zwei Teilstrecken aufgeteilt wird, wobei an jedem Eckpunkt die zwei dort inzidierenden Teilstrecken von gleicher Länge sind. Nimmt man diese Längen, so hat man positive Zahlen $x,y,z$ mit

$a=x+y$

$b=y+z$

$c=z+x$  .

Damit lässt sich Padoas Ungleichung in der Form

(P^') $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\geq 8xyz$

schreiben.

Nun ist jedoch nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

$x+y\geq 2{\sqrt {xy}}$

$y+z\geq 2{\sqrt {yz}}$

$z+x\geq 2{\sqrt {zx}}$

und durch Multiplikation der jeweiligen linken und rechten Seiten und unter Beachtung der Monotoniegesetze für Ungleichungen erhält man sogleich (P^') und damit (P).

Äquivalenz mit der eulerschen Ungleichung

Die Tatsache, dass die padoasche und die eulersche Ungleichung äquivalent sind, lässt sich auf drei grundlegende Gleichungen zurückführen. Indem man nämlich im Dreieck $ABC$ den Umkreis- bzw. Inkreisradius mit $R$ bzw. $r$ bezeichnet sowie mit $F$ dessen Flächeninhalt und dabei $s=x+y+z$ setzt, so erhält man durch elementargeometrische Überlegungen

(G₁) $4FR=abc$

(G₂) $r^{2}s=xyz$

(G₃) $F=rs$

und daraus sogleich die Äquivalenz der beiden Ungleichungen.

Verwandte Ungleichungen

Mit den gleichen Bezeichnungen wie oben hat man zudem:

(V₁) ${\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\geq {\sqrt {a+b-c}}+{\sqrt {b+c-a}}+{\sqrt {c+a-b}}$

(V₂) ${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {1}{a+b-c}}+{\frac {1}{b+c-a}}+{\frac {1}{c+a-b}}$

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 36). The Mathematical Association of America, Washington, DC 2009, ISBN 978-0-88385-342-9 (MR2498836). 
• Albert W. Marshall, Ingram Olkin: Inequalities: Theory and Majorization and Its Applications. Academic Press, New York, London, Toronto, Sydney, San Francisco 1979, ISBN 0-12-473750-1 (MR0552278). 
• A. Padoa: Una questione di minimo. In: Periodico di Matematiche. Band 4, 1925, S. 80–85.