Ungleichung von Schur

Die Ungleichung von Schur (englisch Schur’s inequality) ist eine von mehreren klassischen Ungleichungen, die der Mathematiker Issai Schur auf dem mathematischen Gebiet der Analysis beigesteuert hat.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:

Gegeben seien reelle Zahlen $r,x,y,z$ und dabei gelte $x,y,z>0$.

Dann besteht die Ungleichung

$x^{r}(x-y)(x-z)+y^{r}(y-z)(y-x)+z^{r}(z-x)(z-y)\geq 0$

und es gilt hierbei das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die drei Zahlen $x,y,z$ alle übereinstimmen.

Anwendung

In Anwendung der obigen schurschen Ungleichung (mit $r=2$) lässt sich eine der zahlreichen geometrischen Ungleichungen in der Dreiecksgeometrie der euklidischen Ebene herleiten:

Ist in der euklidischen Ebene ein beliebiges Dreieck $ABC$ gegeben, dessen Seiten die Längen $a,b,c$ haben sollen, und ist hier $s$ gleich dem halben Umfang von $ABC$, so gilt stets die Ungleichung

$abcs\geq a^{3}\cdot (s-a)+b^{3}\cdot (s-b)+c^{3}\cdot (s-c)$

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 36). The Mathematical Association of America, Washington, DC 2009, ISBN 978-0-88385-342-9 (MR2498836). 
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. Reprint (of the 2. edition 1952). Cambridge University Press, Cambridge 1973. 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).