Unimodale Folge

Folge, die bis zu einem Maximum monoton wächst und dann monoton fällt

In der Mathematik ist eine unimodale Folge eine Folge, die bis zu einem Maximum monoton wächst und dann monoton fällt. (Das Maximum kann mehrmals hintereinander angenommen werden.)

Für festes bilden die Binomialkoeffizienten jeweils eine unimodale Folge.

Ein Beispiel ist die Folge der Binomialkoeffizienten für festes und , denn es gilt

für gerade und

für ungerade .

Log-konkave Folgen

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Eine Folge   heißt log-konkav, wenn

 

für alle  . Der Name leitet sich daraus ab, dass die Folge der Logarithmen   die Ungleichung

 

erfüllt, also konkav ist. Jede log-konkave Folge (ohne Nullen) ist unimodal. Tatsächlich folgt aus   für alle  , dass die Folge der Quotienten   monoton fallend ist. Sei dann   der letzte Quotient mit   (bzw.  , falls bereits  ), dann ist die Folge   bis zum Folgenglied   monoton wachsend, anschließend monoton fallend. Beispielsweise sind die Folgen der Stirling-Zahlen erster und zweiter Art   bzw.   für festes   und   log-konkav und damit unimodal. Auch die Binomialkoeffizienten bilden eine log-konkave Folge.

Zahlreiche in der Mathematik vorkommende Folgen sind log-konkav und damit unimodal. Ein Beispiel aus der Geometrie sind die Alexandrov-Fenchel-Ungleichungen, denen zufolge die gemischten Volumina konvexer Körper eine log-konkave Folge bilden.

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