Unipotentes Element

mathematisches Objekt, dessen Differenz zur 1 nilpotent

In der Algebra ist der Begriff unipotentes Element eine Verallgemeinerung der aus der linearen Algebra bekannten unipotenten Matrizen, zum Beispiel der oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Hauptdiagonale.

Definition

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Es sei   ein Ring mit Einselement  . Ein Element   heißt unipotent, wenn   nilpotent ist, das heißt, wenn

 

für ein   ist.

Unipotente Matrizen

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Für einen Ring   und   bilden die quadratischen Matrizen   ebenfalls einen Ring. In diesem Matrizenring ist die Einheitsmatrix   das Einselement. Die unipotenten Elemente in diesem Ring heißen unipotente Matrizen. Beispielsweise sind alle oberen Dreiecksmatrizen  , die auf der Diagonale nur Einsen aufweisen, unipotent, denn sie erfüllen

 .

Unipotente Operatoren

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Ein auf einem Vektorraum oder Modul wirkender Operator   heißt unipotent, wenn

 

für ein   gilt. Er heißt lokal unipotent, wenn seine Einschränkung auf jeden  -invarianten endlichdimensionalen Unterraum unipotent ist.

Jeder Automorphismus   eines endlichdimensionalen Vektorraums   über einem algebraisch abgeschlossenen Körper besitzt eine eindeutige multiplikative Jordan-Chevalley-Zerlegung der Form

 ,

wobei   ein halbeinfacher (diagonalisierbarer) und   ein unipotenter Automorphismus sind. Ist   ein  -stabiler Untervektorraum von  , dann ist   auch  - und  -stabil mit der Zerlegung

 .

Unipotente algebraische Gruppen

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Ein Element   einer algebraischen Gruppe   heißt unipotent, wenn der durch Rechts-Multiplikation mit   auf dem Koordinatenring   definierte Operator lokal unipotent ist.

Eine algebraische Gruppe   über einem Körper   heißt unipotent, wenn alle ihre Elemente   unipotent sind. Insbesondere gilt dann für jede Darstellung  , dass   eine unipotente Matrix ist.

Eine algebraische Gruppe ist genau dann unipotent, wenn sie zu einer abgeschlossenen Untergruppe einer Gruppe oberer Dreiecksmatrizen mit Einsen auf den Diagonalen isomorph ist.

Unipotente algebraische Gruppen   werden durch folgende Eigenschaft charakterisiert: für jede lineare Wirkung von   auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum   gibt es einen Vektor   mit

 .

Literatur

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  • Armand Borel: Linear algebraic groups. Springer, 1991.
  • Jean-Pierre Serre: Groupes algébrique et corps des classes. Hermann, 1959.
  • James E. Humphreys: Linear algebraic groups. Springer, 1981.
  • Tatsuji Kambayashi, Masayoshi Miyanishi, Mitsuhiro Takeuchi: Unipotent algebraic groups. Springer, 1974.
  • Ina Kersten: Lineare Algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, ISBN 978-3-940344-05-2.
  • Robert Steinberg: Conjugacy classes in algebraic groups. Lecture Notes in Mathematics, 366, Springer, 1974.
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