Universelle zentrale Erweiterung
In der Mathematik ist die universelle zentrale Erweiterung einer Gruppe ein Begriff aus der Gruppentheorie.
Definition
BearbeitenEine zentrale Erweiterung einer Gruppe durch eine abelsche Gruppe besteht aus einer Gruppe und einem surjektiven Gruppenhomomorphismus mit Kern isomorph zu . Ein Morphismus zwischen zwei zentralen Erweiterungen derselben Gruppe ist ein Gruppenhomomorphismus mit .
Eine zentrale Erweiterung
heißt universelle zentrale Erweiterung, wenn es für jede andere zentrale Erweiterung
einen eindeutigen Morphismus zentraler Erweiterungen von nach gibt.
Existenz und Eindeutigkeit
BearbeitenEine universelle zentrale Erweiterung ist bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmt, aber eine Gruppe hat nur dann eine universelle zentrale Erweiterung, wenn sie perfekt ist. In diesem Fall ist eine zentrale Erweiterung genau dann universell, wenn perfekt ist und alle zentralen Erweiterungen von trivial sind. Äquivalent ist eine zentrale Erweiterung einer perfekten Gruppe genau dann universell, wenn und . Der Kern der universellen zentralen Erweiterung ist isomorph zu .
Unter dem Isomorphismus entspricht die universelle zentrale Erweiterung der Identität .
Für eine perfekte Gruppe mit Präsentierung konstruiert man die universelle zentrale Erweiterung als .
Beispiele
Bearbeiten- Für eine perfekte endliche Gruppe ist die Schur-Überlagerung die universelle zentrale Erweiterung. Der Kern ist der Schur-Multiplikator.
- ist die universelle zentrale Erweiterung von . Der Kern ist isomorph zu .
- Sei ein kommutativer Ring. Die Steinberg-Gruppe ist die universelle zentrale Erweiterung der Kommutatorgruppe . Der Kern ist die algebraische K-Theorie .
Literatur
Bearbeiten- J. Rosenberg: Algebraic K-Theory and Applications, Graduate Texts in Mathematics 147, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1994