Untergruppensatz von Kurosch

Der Untergruppensatz von Kurosch, benannt nach Alexander Gennadjewitsch Kurosch, ist ein mathematischer Satz aus dem Bereich der Gruppentheorie. Er beschreibt die Struktur von Untergruppen freier Produkte und stellt eine Verallgemeinerung des Satzes von Nielsen-Schreier dar.

Formulierung des Satzes

Es sei $G={\underset {\alpha \in A}{*}}G_{\alpha }$ das freie Produkt der Gruppen $G_{\alpha },\alpha \in A$ und $H\leq G$ eine Untergruppe. Dann ist

$H=H_{0}*\,{\underset {\alpha \in A,d_{\alpha }\in R_{\alpha }}{*}}(H\cap (d_{\alpha }G_{\alpha }d_{\alpha }^{-1}))$.

Dabei ist

$H_{0}$ eine freie Gruppe,

$R_{\alpha }$ für jedes $\alpha \in A$ ein Repräsentantensystem der $(H,G_{\alpha })$-Doppelnebenklassen.

Ist zusätzlich der Index $[G:H]=m<\infty$, so hat die freie Gruppe $H_{0}$ den Rang

$\mathrm {rg} (H_{0})=\sum _{\alpha \in A}(m-|R_{\alpha }|)+1-m$.

Beziehung zum Satz von Nielsen-Schreier

Der Untergruppensatz von Kurosch ist stärker als der Satz von Nielsen-Schreier. Letzterer ergibt sich aus ersterem durch Spezialisierung auf $G_{\alpha }\cong \mathbb {Z}$, wie hier kurz zur Verdeutlichung der Begriffe ausgeführt werden soll.

Ist $G_{\alpha }\cong \mathbb {Z}$ für alle $\alpha \in A$, so ist $G={\underset {\alpha \in A}{*}}G_{\alpha }$ die freie Gruppe vom Rang $|A|$. Eine Untergruppe $H$ hat die angegebene Struktur. Mit $G_{\alpha }\cong \mathbb {Z}$ ist auch $d_{\alpha }G_{\alpha }d_{\alpha }^{-1}\cong \mathbb {Z}$ und daher jedes $H\cap (d_{\alpha }G_{\alpha }d_{\alpha }^{-1})$ trivial oder ebenfalls isomorph zu $\mathbb {Z}$. Daher ist $H$ das freie Produkt freier Gruppen und damit selbst frei. Also ist gezeigt, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe wieder frei ist, und das ist die qualitative Aussage aus dem Satz von Nielsen-Schreier.

Zur quantitativen Aussage des Satzes von Nielsen-Schreier beschränken wir uns auf eine endliche Indexmenge $A$. Die unendliche zyklische Gruppe $G_{\alpha }$ sei jeweils von $g_{\alpha }\in G_{\alpha }$ erzeugt. Da der Index von $H$ in $G$ endlich ist, können die Nebenklassen $Hd_{\alpha }g_{\alpha }^{r},\,r>0$ nicht alle verschieden sein. Es muss daher ein $r>0$ geben mit $Hd_{\alpha }=Hd_{\alpha }g_{\alpha }^{r}$ und daher auch ein $h\in H$ mit $hd_{\alpha }=d_{\alpha }g_{\alpha }^{r}$ Da $r>0$, ist $h\not =1$, also

$1\not =h=d_{\alpha }g_{\alpha }^{r}d_{\alpha }^{-1}\in H\cap (d_{\alpha }G_{\alpha }d_{\alpha }^{-1})$

Diese Untergruppe ist also nicht trivial und daher isomorph zu $\mathbb {Z}$. Damit ist

$\mathrm {rg} (H)=\mathrm {rg} (H_{0})+\sum _{\alpha \in A,d_{\alpha }\in R_{\alpha }}\underbrace {\mathrm {rg} (H\cap (d_{\alpha }G_{\alpha }d_{\alpha }^{-1}))} _{=1}$     (da sich die Ränge freier Gruppen bei freien Produkten addieren)

$=\quad \sum _{\alpha \in A}(m-|R_{\alpha }|)+1-m\,\,+\,\,\sum _{\alpha \in A}|R_{\alpha }|$     (nach der Rangformel aus dem Untergruppensatz von Kurosch)

$=\quad |A|m+1-m$,

und das ist genau die Formel aus dem Satz von Nielsen-Schreier.