Ein Unterteilungsgraph ist in der Graphentheorie ein Graph, der durch Kantenunterteilung aus einem anderen Graph entstanden ist. Zwei Graphen heißen homöomorph, falls sie Unterteilungsgraphen besitzen, die isomorph sind. Unterteilungsgraphen spielen unter anderem im Satz von Kuratowski und in der Hajós-Vermutung eine wichtige Rolle.

Unterteilungsgraph des vollständigen Graphen K5, der durch Unterteilung aller Kanten entsteht

Definitionen

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Unterteilungsgraph

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Kante vor und nach Unterteilung

Sei   ein ungerichteter Graph, dann versteht man unter einer Unterteilung einer Kante   die Ersetzung dieser Kante durch zwei neue Kanten   und  , die die beiden Knoten   und   der entfernten Kante mit einem neuen Knoten   verbinden. Auf diese Weise entsteht ein neuer Graph   mit der neuen Knotenmenge

 

und der neuen Kantenmenge

 ,

wobei   und   sind. Ein Unterteilungsgraph eines Graphen ist nun ein Graph, der aus diesem durch (null-, ein- oder mehrmalige) Kantenunterteilung entsteht.

Homöomorphie von Graphen

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Zwei Graphen heißen homöomorph, falls Unterteilungsgraphen dieser beiden Graphen existieren, die zueinander isomorph sind. Als den Homöomorphie-Ursprung eines Graphen bezeichnet man den kleinsten Graph, der zu diesem homöomorph ist. Man kann den Homöomorphie-Ursprung eines Graphen durch wiederholtes Entfernen von Knoten vom Grad zwei (Schleifen ausgenommen) und Einfügen einer Kante, die die beiden Nachbarknoten des entfernten Knoten verbindet, ermitteln. Zwei Graphen sind nun genau dann homöomorph, wenn ihre Homöomorphie-Ursprünge isomorph sind.

Beispiele

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Die folgenden beiden Graphen   und   sind homöomorph, da sie den gemeinsamen Unterteilungsgraphen   besitzen. Der Homöomorphie-Ursprung der beiden Graphen ist der Graph  .

Auch alle Kreisgraphen   sind für   zueinander homöomorph mit dem Graphen   als Homöomorphie-Ursprung.

Verwendung

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Unterteilungsgraphen spielen eine wichtige Rolle im Satz von Kuratowski. Nach diesem Satz ist ein endlicher Graph genau dann planar, wenn er keinen Teilgraphen enthält, der durch Unterteilung des vollständigen Graphen   oder des vollständig bipartiten Graphen   entstanden ist. Des Weiteren dienen sie auch zur Definition von topologischen Minoren.

Siehe auch

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