Varifaltigkeit

Die Varifaltigkeit (englisch Varifold) ist ein mathematischer Begriff aus der geometrischen Maßtheorie. Varifaltigkeiten sind Maße und können differenzierbare Mannigfaltigkeit durch das Konzept der Rektifizierbarkeit verallgemeinern. Dadurch können auch Flächen mit Singularitäten modelliert werden. Rektifizierbare Varifaltigkeiten verallgemeinern rektifizierbare Ströme.

Varifaltigkeit

Im ganzen Artikel seien $n,r\in \mathbb {Z}$ mit $0\leq r\leq n$. Mit $G(r,n)$ bezeichnen wir die Graßmann-Mannigfaltigkeit von $\mathbb {R} ^{n}$, d. h. der Raum der unorientierten $r$-dimensionalen linearen Unterräume von $\mathbb {R} ^{n}$.

Intuition

Sei $W$ Vektorraum und $U$ ein linearer Untervektorraum von $W$. Eine Varifaltigkeit $V$ ist ein Maß für eine offene Teilmenge $S\subset W$, welche von dem Untervektorraum $U$ abhängt

$V(S,U)=\mu (S\cap U)=\int _{S\cap U}\mathrm {d} \mu$

für ein geeignetes Maß $\mu$. Als Beispiel sei $U$ eine Ebene und $\mu$ das Produktmaß aus dem Lebesgue-Maß auf $S$ und dem Dirac-Maß auf $U$.

Ein häufig gewähltes Maß ist das Produktmaß $V={\mathcal {H}}_{\mid S}^{k}\otimes \delta _{T_{x}S}$, wobei das ${\mathcal {H}}_{\mid S}^{k}$ das $k$-dimensionale Hausdorff-Maß an der Stelle $S$ bezeichnet und $T_{x}S$ den approximativen Tangentialraum und $\delta$ das Dirac-Maß.

Definition

Sei $\Omega$ eine offene Teilmenge von $\mathbb {R} ^{n}$. Eine $r$-dimensionale Varifaltigkeit $V$ in $\Omega$ ist ein Radon-Maß auf dem Raum

$G_{r}(\Omega ):=\Omega \times G(r,n)$.

Als Gewicht von $V$ definieren wir das Radonmaß $\|V\|(A):=V(A\times G(r,n))$ für alle $A\subset \Omega$. Somit gilt $\|V\|(A)=V(\pi ^{-1}(A))$ wobei $\pi :\Omega \times G(r,n)\to \Omega$ die Projektion $\pi :(x,S)\mapsto x$ ist.

Erläuterungen

Der Raum der Varifaltigkeiten notieren wir mit $V_{r}(\Omega )$ und versehen ihn mit der schwachen Topologie, d. h. $V_{n}\to V$ in $V_{r}(\Omega )$ genau dann, wenn $\int f\;\mathrm {d} V_{n}\to \int f\;\mathrm {d} V$ für alle $f\in C_{c}\left(G_{r}(\Omega )\right)$.

Für eine Borel-Menge $A\subset \Omega$ bezeichnen wir mit $V\llcorner G_{r}(A)$ die Restriktion auf $G_{r}(A):=A\times G(r,n)$, somit gilt für alle $B\subset G_{r}(\Omega )$

$\left(V\llcorner G_{r}(A)\right)(B)=V(B\cap G_{r}(A))$

Beispiele

• Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und bezeichne mit $M_{r}(\Omega )$ den Raum der stetig-differenzierbaren Untermannigfaltigkeiten in $\Omega$, welche eine lokal-endliche $r$-dimensionale Fläche in $\Omega$ besitzen. Sei $M\in M_{r}(\Omega )$ und ${\mathcal {H}}^{r}$ das $r$-dimensionale Hausdorff-Maß auf $\mathbb {R} ^{n}$. Für jedes $M\in M_{r}(\Omega )$ definiere das Radon-Maß

$\|M\|(A):={\mathcal {H}}^{r}(A\cap M),$

für alle $A\subset \Omega$.

Definiere $\Gamma :=\{x\in M\colon (x,T_{x}M)\in D\}$ wobei $T_{x}M\in G(r,n)$ den Tangentialraum bezeichnet und $D\subset G_{r}(\Omega )$. Dann existiert eine Abbildung $v:M_{r}(\Omega )\to V_{r}(\Omega )$ so dass

$v(M)(D)=\|M\|(\Gamma ),$

somit können Varifaltigkeiten als Verallgemeinerungen der Mannigfaltigkeiten verstanden werden.

• Sei $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine geschlossene $k$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${\mathcal {H}}^{k}$ das $k$-dimensionale Hausdorff-Maß auf $\mathbb {R} ^{n}$. Sei $f:\mathbb {R} ^{n}\times G(k,n)\to \mathbb {R}$ und $f\in C_{c}(G_{k}(\mathbb {R} ))$, dann wird für eine Borel-Teilmenge $A\subset M$ eine Varifaltigkeit $V_{A}$ durch

$\int f\;\mathrm {d} V_{A}=\int _{A}f(x,T_{x}M)\;\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{k}(x)$

definiert.

• Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und das $k$-dimensionale Hausdorff-Maß ${\mathcal {H}}^{k}$ lokal-endlich. Weiter sei $U\subset \Omega$ eine ${\mathcal {H}}^{k}$-messbar und abzählbar $k$-rektifizierbar Teilmenge (d. h. der approximative Tangentialraum existiert ${\mathcal {H}}^{k}$-fast überall). Sei $f\in C_{c}(G_{k}(U))$ eine lokal-beschränkte lineare Funktion, dann definiert

$\int _{\Omega \times G(k,n)}f(x,S)\;\mathrm {d} V_{U}(x,S):=\int _{U}f(x,T_{x}U)\;\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{k}(x)$

eine Varifaltigkeit $V_{U}\in V_{k}(U)$. Es gilt $V_{U}={\mathcal {H}}^{k}\otimes \delta _{T_{x}U}$.

Rektifizierbare Varifaltigkeit

Sei $M$ eine abzählbar $n$-rektifizierbare, ${\mathcal {H}}^{n}$-messbare Teilmenge von $\mathbb {R} ^{n+k}$. Weiter definiere die sogenannte Multiplizitätsfunktion $\theta$, eine positive lokal-${\mathcal {H}}^{n}$-integriebare Funktion auf $M$. Eine $n$-rektifizierbare Varifaltigkeit ist die Äquivalenzklasse ${\underline {v}}(M,\theta )$ aller Paare $({\widetilde {M}},{\widetilde {\theta }})$, wobei ${\widetilde {M}}$ abzählbar $n$-rektifizierbar ist und für die vereinigte Differenzmenge $D=(M\setminus {\widetilde {M}})\cup ({\widetilde {M}}\setminus M)$ gilt, dass ${\mathcal {H}}^{n}(D)=0$, sowie für $\theta ={\widetilde {\theta }}$ ${\mathcal {H}}^{n}$-fast überall auf $M\cap {\widetilde {M}}$.

Literatur

• William K. Allard: Notes on the theory of varifolds. In: Astérisque. Nr. 154-155, 1987, S. 73. 
• Ulrich Menne: The Concept of Varifold. Hrsg.: American Mathematical Society. Band 64, Nr. 10, 2017, S. 1148–1152, doi:10.1090/noti1589. 
• Leon Simon: Lectures on Geometric Measure Theory. In: Australian National University (Hrsg.): Proceedings of the Centre for Mathematics and its Applications. Band 3, 1983, ISBN 978-0-86784-429-0.