Verallgemeinerte Gradientennäherung

Die verallgemeinerte Gradientennäherung (GGA von englisch Generalized Gradient approximation) ist in der Festkörperphysik ein Näherungsverfahren, das bei Berechnungen der elektronischen Bandstruktur mit Hilfe der Dichtefunktionaltheorie zum Einsatz kommt.

Die verallgemeinerte Gradientennäherung zeichnet sich gegenüber der lokalen Spindichtenäherung dadurch aus, dass im Term für die Austauschenergie $E_{\mathrm {XC} }$ neben den lokalen Spindichten $(n_{\uparrow },n_{\downarrow })$ auch deren Gradienten $(\nabla n_{\uparrow },\nabla n_{\downarrow })$ berücksichtigt werden.^[1]^[2]^[3]

E_{\mathrm {XC} }^{\mathrm {GGA} }\left[n_{\uparrow },n_{\downarrow }\right]=\int \varepsilon _{\mathrm {XC} }\left(n_{\uparrow },n_{\downarrow },\nabla n_{\uparrow },\nabla n_{\downarrow }\right)n({\vec {r}})\,{\mathrm {d} }^{3}r.

Bewertung

Bei Rechnungen im Rahmen der lokalen Spindichtenäherung hat sich gezeigt, dass typischerweise der Beitrag der Austauschenergie unterschätzt und der Beitrag der Korrelationsenergie überschätzt wird.^[4] Während sich diese Fehler in Bezug auf die Energie oft weitgehend gegenseitig kompensieren, führen sie in Bezug auf die Spindichten oft zu signifikanten Fehlern, die sich in fehlerhaften Grundzustandsenergien und -kristallgeometrien sowie falschen Parametern der Gitterschwingungen (Phononen) führen. Unter Benutzung der GGA treten diese Fehler deutlich weniger in Erscheinung.

Typen

PW91 benannt nach J. P. Perdew und Y. Wang, die dieses Funktional 1991 vorschlugen.^[5]^[6]
PBE benannt nach J.P. Perdew, S. Burke und M. Ernzerhof, die 1996 ein dem PW91 äquivalentes Funktional vorschlugen, das mit weniger Parametern auskommt.^[7]

Einzelnachweise

↑ John P. Perdew, J. A. Chevary, S. H. Vosko, Koblar A. Jackson, Mark R. Pederson, D. J. Singh, Carlos Fiolhais: Atoms, molecules, solids, and surfaces: Applications of the generalized gradient approximation for exchange and correlation. In: Physical Review B. 46. Jahrgang, Nr. 11, 1992, S. 6671, doi:10.1103/physrevb.46.6671, bibcode:1992PhRvB..46.6671P.
↑ Axel D. Becke: Density-functional exchange-energy approximation with correct asymptotic behavior. In: Physical Review A. 38. Jahrgang, Nr. 6, 1988, S. 3098, doi:10.1103/physreva.38.3098, PMID 9900728, bibcode:1988PhRvA..38.3098B.
↑ David C Langreth, M J Mehl: Beyond the local-density approximation in calculations of ground-state electronic properties. In: Physical Review B. 28. Jahrgang, Nr. 4, 1983, S. 1809, doi:10.1103/physrevb.28.1809, bibcode:1983PhRvB..28.1809L.
↑ Axel D. Becke: Perspective: Fifty years of density-functional theory in chemical physics. In: The Journal of Chemical Physics. 140. Jahrgang, Nr. 18, 14. Mai 2014, ISSN 0021-9606, S. A301, doi:10.1063/1.4869598, PMID 24832308, bibcode:2014JChPh.140rA301B (scitation.org).
↑ J. P. Perdew, Y. Wang: -. In: Phys. Rev. B. Band 45, 1992, S. 13244. and references therein.
↑ J. P. Perdew: -. In: P. Ziesche and H. Eschrig (Hrsg.): Electronic Structure of Solids. Akademie Verlag, Berlin 1991, S. 11.
↑ J.P. Perdew, S. Burke und M. Ernzerhof: eneralized Gradient Approximation Made Simple. In: Phys. Rev. Lett. Band 77, 1996, S. 3865 ff. (uci.edu [PDF]).

[1] John P. Perdew, J. A. Chevary, S. H. Vosko, Koblar A. Jackson, Mark R. Pederson, D. J. Singh, Carlos Fiolhais: Atoms, molecules, solids, and surfaces: Applications of the generalized gradient approximation for exchange and correlation. In: Physical Review B. 46. Jahrgang, Nr. 11, 1992, S. 6671, doi:10.1103/physrevb.46.6671, bibcode:1992PhRvB..46.6671P.

[2] Axel D. Becke: Density-functional exchange-energy approximation with correct asymptotic behavior. In: Physical Review A. 38. Jahrgang, Nr. 6, 1988, S. 3098, doi:10.1103/physreva.38.3098, PMID 9900728, bibcode:1988PhRvA..38.3098B.

[3] David C Langreth, M J Mehl: Beyond the local-density approximation in calculations of ground-state electronic properties. In: Physical Review B. 28. Jahrgang, Nr. 4, 1983, S. 1809, doi:10.1103/physrevb.28.1809, bibcode:1983PhRvB..28.1809L.

[4] Axel D. Becke: Perspective: Fifty years of density-functional theory in chemical physics. In: The Journal of Chemical Physics. 140. Jahrgang, Nr. 18, 14. Mai 2014, ISSN 0021-9606, S. A301, doi:10.1063/1.4869598, PMID 24832308, bibcode:2014JChPh.140rA301B (scitation.org).

[5] J. P. Perdew, Y. Wang: -. In: Phys. Rev. B. Band 45, 1992, S. 13244. and references therein.

[6] J. P. Perdew: -. In: P. Ziesche and H. Eschrig (Hrsg.): Electronic Structure of Solids. Akademie Verlag, Berlin 1991, S. 11.

[7] J.P. Perdew, S. Burke und M. Ernzerhof: eneralized Gradient Approximation Made Simple. In: Phys. Rev. Lett. Band 77, 1996, S. 3865 ff. (uci.edu [PDF]).

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