Vergleichssätze (englisch: comparison principle) sind in der Theorie von Differentialgleichungen wichtige Hilfsmittel, um Aussagen über das Verhalten von Lösungen dieser Gleichungen treffen zu können. Diese sind insbesondere deshalb wichtig, da man für solche Gleichungen oftmals keine expliziten Lösungsformeln angeben kann.

Vergleichssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen

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In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist der Vergleichssatz eines der wichtigsten Hilfsmittel, um Aussagen über Lösungen von (skalaren) Differentialgleichungen erster Ordnung zu treffen, welche man nicht explizit ausrechnen kann.

Anschaulich bedeutet er, dass Lösungen derselben Differentialgleichung angeordnet bleiben, d. h., ist   für zwei Lösungen einer skalaren Differentialgleichung, so bleibt   auf dem gesamten gemeinsamen Definitionsbereich. Ist insbesondere eine Lösung der Differentialgleichung explizit bekannt, so gewinnt man daraus Abschätzungen für nicht explizit ausrechenbare Lösungen.

Da es jedoch nicht immer möglich ist, explizite Lösungen aufzufinden, ist es aus praktischen Gründen notwendig, auch mit Ober- bzw. Unterlösungen vergleichen zu können, da diese leichter zu konstruieren sind.

Formulierung

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Es sei  ,   stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Weiter seien   eine Ober- bzw. Unterlösung von  , d. h., es gelte   für alle   mit

 

für alle  . Gilt zudem  , so folgt

 

für alle  .

Variante

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Analog gilt, wobei man   durch   ersetze: Falls  , so folgt   für alle  .

Sei   und  . Angenommen,  . Für   folgt   auf   und  . Man fixiere ein  . Es ist   eine kompakte Teilmenge von  . Da   lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen, gibt es ein   mit

 

für alle   und  . Es folgt

 

für alle  , also   für alle  . Integration liefert  , also   für alle  . Aus der Stetigkeit von   folgt der Widerspruch  .

 

Beispiel

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Man betrachte das Anfangswertproblem

 

Es besitzt eine nicht-fortsetzbare Lösung  . Die Differentialgleichung hat die trivialen Lösungen   und  . Gemäß dem Vergleichssatz, jeweils angewandt auf   und  , gilt   für alle  . Insbesondere folgt aus dem Satz über das maximale Existenzintervall, dass  , d. h., die Lösung existiert global. Zudem liefert die Abschätzung  . Somit ist   streng monoton fallend.

 

Vergleichssätze für partielle Differentialgleichungen

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Auch für partielle Differentialgleichungen existieren Vergleichssätze, etwa für die nichtlineare parabolische Differentialgleichung.[1] Als Verallgemeinerung des schwachen Maximumprinzips erlauben die Vergleichssätze Aussagen insbesondere über die Lösungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen.

Literatur

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  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.

Einzelnachweise

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  1. Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen. de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 190–194