Vermutungen von Paul Erdős

Wikimedia-Liste

Der Mathematiker Paul Erdős hat in seinen Arbeiten viele Vermutungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik aufgestellt.

Vermutungen zur Zahlentheorie

Bearbeiten
 
nur die Lösungen   und   hat.
 
für jede natürliche Zahl   eine Lösung in natürlichen Zahlen   hat.
  •  
Betrachten wir die Menge S aller natürlichen Zahlen n mit folgender Eigenschaft:
Für jede natürliche Zahl k mit k>0 und 2k < n ist n - 2k eine Primzahl.
Dann enthält S sicherlich die Zahlen  .
Zum Beispiel ist 45 in S, weil die Zahlen  ,  ,  ,  ,   alles Primzahlen sind.
Die Vermutung besagt nun, dass S nur aus diesen 7 Zahlen besteht.
Bis   ist diese Vermutung nachgerechnet worden, d. h., es gibt sicherlich keine Zahlen in S außer den genannten, die kleiner als 277 sind.
Jede Zahl n in S (außer 4) liefert automatisch einen Primzahlzwilling, nämlich  .
Siehe auch: Folge A039669 in OEIS
  • Erdős-Divergenz-Vermutung: Sie besagt, dass es für jede unendliche Folge der Zahlen +1 und −1 äquidistante Samples endlicher Länge gibt, die sich zu einer betragsmäßig beliebig großen Summe addieren. Terence Tao hat 2015 einen Beweis vorgelegt.[1] Der Beweis ist in einem peer reviewed Journal publiziert:[2]
  • Erdős-Woods-Vermutung: Gegeben sei eine beliebige ganze Zahl  . Dann gibt es eine positive ganze Zahl  , so dass   durch die Liste der Primfaktoren von   eindeutig bestimmt wird.
  • Seien   und   komplementäre n-elementige Teilmengen von  . Sei   die Menge der Lösungen   mit  . Man schätze   für hinreichend große   ab.
  • Sei   ein ungerichter Graph und   die Familie von Graphen, die   nicht als induzierten Teilgraphen enthalten. Dann gibt es ein  , so dass alle n-Graphen in   eine Clique oder eine stabile Menge der Größe   enthalten.
  • Erdős-Vermutung über arithmetische Folgen: Jede Menge   mit   enthält eine arithmetische Folge beliebiger Länge.

Vermutungen zur Graphentheorie

Bearbeiten
  • Erdős-Faber-Lovász-Vermutung: Ein Graph, der eine Vereinigung vollständiger Graphen mit   Knoten ist, die paarweise höchstens einen Knoten gemeinsam haben, ist  -chromatisch.
  • Erdős-Gyárfás-Vermutung: Jeder Graph, dessen Knoten alle mindestens Grad 3 haben, enthält einen Kreis, dessen Länge eine Zweierpotenz ist.

Vermutungen zur Ramsey-Theorie

Bearbeiten

Viele Vermutungen, welche von Erdős stammen oder an denen Erdős beteiligt war, betreffen das Gebiet der Ramsey-Theorie und insbesondere die Ramsey-Zahlen. Als herausragende Beispiele sind die Vermutung von Bondy und Erdős und die Erdős-Sós-Vermutung zu nennen.

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Chris Cesare: Maths whizz solves a master’s riddle. Nature News, 25. September 2015.
  2. Terence Taos Beweis der Divergenzvermutung in der Fachzeitschrift Discrete Analysis, mit Link zu einem Video von einem Vortrag darüber