Verzerrtes Produkt

In der Mathematik und der Physik, insbesondere in der Differentialgeometrie und der Allgemeinen Relativitätstheorie, bezeichnet das verzerrte Produkt zweier Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten die Produktmannigfaltigkeit mit der verzerrten Produktmetrik.

Definition

Unter dem verzerrten Produkt $M\times _{f}N$ zweier Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten $(M,g_{M})$ und $(N,g_{N})$ längs einer strikt positiven Funktion $f\colon M\to (0;\infty )$ versteht man die Produktmannigfaltigkeit $M\times N$ ausgestattet mit dem metrischen Tensor $g:=\pi ^{*}(g_{M})+(f\circ \pi )^{2}\sigma ^{*}(g_{N})$. Dabei bezeichnen $\pi \colon M\times N\to M$ und $\sigma \colon M\times N\to N$ die natürlichen Submersionen und $g^{*}$ den Pullback eines Tensors unter einer Abbildung g zwischen zwei Mannigfaltigkeiten. Dabei wird $M$ als Basis und $N$ als Faser der Produktmannigfaltigkeit bezeichnet.

Definition verzerrte Metrik

Unter einer verzerrten Produktmetrik versteht man eine Riemannsche oder Lorentzsche Mannigfaltigkeit, deren Metrik durch

$ds^{2}\,=g_{ab}(y)dy^{a}dy^{b}+f(y)g_{ij}(x)dx^{i}dx^{j}$

dargestellt werden kann. D. h. insbesondere zerfällt die betrachtete Mannigfaltigkeit in das kartesische Produkt einer „y“- und einer „x“-Geometrie, wobei die „x“-Metrik verzerrt wird.

Literatur

• Barrett O’Neill: Semi-Riemannian Geometry. With Applications to Relativity (Pure and applied mathematics; Bd. 103). Academic Press, New York 1983, ISBN 0-12-526740-1.