Die Von-Neumann-Stabilitätsanalyse (nach John von Neumann), manchmal auch L2-Stabilitätsanalyse, ist das Standardverfahren zur Untersuchung der Stabilität von numerischen Verfahren zur Lösung zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen.

Das Verfahren wurde von John von Neumann in Los Alamos im Rahmen des Manhattan-Projekts entwickelt. Während des Krieges wurde die Methode unter Verschluss gehalten und erst 1947 von John Crank und Phyllis Nicolson publiziert. 1968 bewies Heinz-Otto Kreiss weitere zentrale Eigenschaften des Analyseverfahrens.

Der lineare, eindimensionale Fall

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Gegeben sei auf einem Intervall   eine lineare, partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten der Form

 

Anfangsdaten   sowie ein numerisches Verfahren zur Lösung. Die Bedingung, dass das Verfahren in der L2-Norm stabil ist, besagt dann, dass der durch das numerische Verfahren produzierte Fehler bei gegebenen Schrittweiten   und   für   beschränkt bleibt. Der erste Schritt der Von-Neumann-Stabilitätsanalyse besteht nun darin, die Lösung periodisch auf die kompletten reellen Zahlen fortzusetzen.

Der periodische Fehler   zum Zeitpunkt   im Diskretisierungspunkt   kann nun in eine Fourier-Reihe

 

entwickelt werden. Hierbei bezeichnet   die imaginäre Einheit. Das numerische Verfahren definiert dann eine Evolution der Koeffizienten der Fourierreihe in der Zeit mittels einer so genannten Amplifikationsmatrix  . Die L2-Stabilitätsbedingung reduziert sich dann darauf, dass das numerische Verfahren genau dann stabil ist, wenn der Spektralradius der Amplifikationsmatrix   betragsmäßig kleiner gleich eins ist.

Beispiel

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Der einfachste Fall ist die lineare Advektionsgleichung

 

wobei   eine reelle Zahl ist. Eines der einfachsten vorstellbaren numerischen Verfahren zur Lösung solcher Gleichungen ist das explizite Euler-Verfahren   zur Zeitintegration gekoppelt mit zentralen Differenzen auf einem äquidistanten Gitter im Raum. Der zweite Term wird also mittels

 

approximiert. Insgesamt ergibt sich das Verfahren

 

was auch die Entwicklung der Fehler definiert und auch jedes einzelnen Terms der Fourier-Reihenentwicklung. Betrachten wir den j-ten Summanden, so ergibt Einsetzen in die obige Formel und Division durch   mit  :

 

Die Amplifikationsmatrix ist nun gegeben durch

 

Das Verfahren ist  -stabil, falls   für alle  , was hier nicht der Fall ist, da   Damit ist das Verfahren unabhängig von der Wahl der Schrittweiten instabil. Dieses Verhalten beobachteten die Mitarbeiter des Manhattan Projekts, was von Neumann zur Entwicklung der Stabilitätsanalyse führte. Wird im Raum das Upwind-Verfahren

 

benutzt, so ergibt sich die Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung

 ,

also bedingte Stabilität.

Andere Gleichungen

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Im nichtlinearen Fall oder im Falle variabler Koeffizienten kann das Verfahren durch Linearisierung und Einfrieren der Koeffizienten angewandt werden, allerdings liefert die Analyse im allgemeinen Fall nur noch eine notwendige Bedingung für Stabilität, in Spezialfällen auch eine hinreichende. Ferner ist die Bedingung an den Spektralradius nun:

 .

Ein allgemeines Verfahren zur vollständigen Stabilitätsanalyse nichtlinearer Gleichungen ist nicht bekannt.

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