Weierstraßscher Vorbereitungssatz

mathematischer Satz

Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Nullstellen konvergenter Potenzreihen und Weierstraß-Polynomen her.

Einführung und Formulierung des Satzes

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Es bezeichne   den Ring der konvergenten Potenzreihen um 0 in   Veränderlichen; dieser Ring ist kanonisch isomorph zum Ring der Keime holomorpher Funktionen in   Veränderlichen um den Nullpunkt.

Ein   ist genau dann eine Einheit des Rings  , d. h. in dem Ring invertierbar, wenn   ist, was wiederum bedeutet, dass der konstante Term der Potenzreihe von Null verschieden ist.

Jedes   kann mittels der Festlegung   als Element von   aufgefasst werden; hiermit wird der Ring   zu einem Unterring von  . Auch der Polynomring   ist dann ein Unterring von  . Wenn im Kontext des Weierstraßschen Vorbereitungssatzes von Polynomgrad oder Grad gesprochen wird, dann ist der Grad von Elementen aus   als Polynome in   gemeint.

Ein Weierstraß-Polynom ist ein Element aus   der Form

 

mit konvergenten Potenzreihen  , die in 0 verschwinden, d. h. mit  .

Eine Potenzreihe   heißt in   regulär, falls die holomorphe Funktion   nicht die Nullfunktion ist, und in   regulär von der Ordnung  , falls die Funktion   in 0 eine Nullstelle der Ordnung   hat.

Mit diesen Begriffsbildungen gilt der folgende Satz, genannt Weierstraßscher Vorbereitungssatz.[1][2]

Sei   eine konvergente Potenzreihe, die in   regulär von der Ordnung   ist. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Weierstraß-Polynom   vom Grad   und eine eindeutig bestimmte Einheit   mit  .

Beweisidee

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  konvergiert auf einem geeigneten Polykreis  . Da   in   regulär von der Ordnung   ist, findet man  , so dass die Funktion  für jedes feste   genau   Nullstellen im Kreis   hat. Diese seien mit   bezeichnet, wobei für Mehrfachnullstellen Wiederholungen auftreten. Multipliziert man

 

aus, so erhält man ein Weierstraß-Polynom, das das Verlangte leistet.

Bemerkung

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Der Name Vorbereitungssatz rührt daher, dass die Potenzreihe für die Untersuchung ihrer Nullstellen vorbereitet wird. Da der Faktor   als Einheit in einer Umgebung von 0 nicht verschwindet, sind die Nullstellen in einer solchen Umgebung dieselben wie die des Weierstraß-Polynoms.[3]

Für  , das heißt für holomorphe Funktionen einer Variablen, muss das Weierstraß-Polynom das normierte Monom   sein. Es ist dann   mit einer holomorphen Funktion  , die in 0 nicht verschwindet. Der Vorbereitungssatz verallgemeinert daher die Tatsache, dass eine holomorphe Funktion einer Veränderlichen mit  -facher Nullstelle in 0 als   mit einer holomorphen in 0 nicht verschwindenden Funktion   geschrieben werden kann, auf   Dimensionen.

Zur Einordnung des Satzes soll noch erwähnt werden, dass sich aus ihm sehr leicht ein Satz über implizite Funktionen ergibt.[4] Ist nämlich   in   regulär von erster Ordnung, so hat   nach dem Vorbereitungssatz die Form

 

mit einer holomorphen Funktion  . Da  , gilt in einer Umgebung von 0

 .

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Wolfgang Ebeling: Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten, Vieweg-Verlag (2001), ISBN 978-3-528-03174-9, Theorem 2.1
  2. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. II.B, Theorem 2 (Weierstrass Preparation Theorem)
  3. Wolfgang Ebeling: Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten, Vieweg-Verlag (2001), ISBN 978-3-528-03174-9, Bemerkung 2.3
  4. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. II.B, Seite 70