W-Kurve

Eine W-Kurve ist eine geometrische Kurve in einem projektiven Raum, die invariant ist unter einer 1-parametrigen Gruppe von projektiven Transformationen. W-Kurven wurden zuerst 1871 von Felix Klein und Sophus Lie untersucht, Sie gaben ihnen auch ihren Namen. Für die Konstruktion von W-Kurven genügt ein Lineal. Viele bekannte Kurven sind W-Kurven, z. B. Kegelschnitte, logarithmische Spiralen, Graphen von Potenzfunktionen wie $y=x^{3}$, Logarithmen und Schraubenlinien (Helix). W-Kurven kommen vielfach im Reich der Pflanzen vor. Keine W-Kurven sind beispielsweise die trigonometrischen Funktionen.

Ein typisches Beispiel einer ebenen W-Kurve mit Quelle O und Senke Y

Namensgebung

Die Buchstabe 'W' kommt von 'Wurf', was – nach von Staudt – eine Reihe von vier Punkte auf einer Geraden bedeutet. Eine eindimensionale W-Kurve (das heißt: die Bewegung eines Punktes auf einer projektiven Geraden) ist durch eine solche Reihe bestimmt.

"W-Kurve" klingt sehr ähnlich wie "Weg-Kurve", und das kann im Englischen mit "path curve" übersetzt werden. Daher findet man diese Bezeichnung häufig in der englischen Literatur.

Literatur

• Felix Klein und Sophus Lie: Ueber diejenigen ebenen Curven... in Mathematische Annalen, Band 4, 1871; online zur Verfügung bei die Universität Goettingen

• Für eine Einführung in die W-Kurven und wie sie zu zeichnen sind, siehe Ostheimer und Ziegler: Skalen und Wegkurven (sic!), Verlag am Goetheanum 1996, ISBN 3-7235-0952-5, oder

• Lawrence Edwards: Projective Geometry, Floris Books 2003, ISBN 0-86315-393-3

• Uber W-Kurven in der Natur, siehe Lawrence Edwards: The vortex of life, Floris Books 1993, ISBN 0-86315-148-5

• Für eine algebraische Klassifikation der 2- und 3-dimensionalen W-Kurven siehe Classification of pathcurves (PDF; 9,9 MB)

• Georg Scheffers: "Besondere transzendente Kurven", in Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, 1903, Band 3–3, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN360610161&DMDID=DMDLOG_0117.