Weierstraßsches Majorantenkriterium

mathematischer Satz

Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.

Sei   eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge  . Seien   reelle Konstanten, so dass

 

für alle   und alle   in   gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe  .

Dann gilt: Die Reihe

 

konvergiert absolut und gleichmäßig auf  .[1]

Beispiel

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Sei   eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion

 

überall stetig, aber nirgends differenzierbar.[2] Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich

 

sowie

 

nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe   gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen   konvergiert. Damit ist   als ein solcher Grenzwert stetig.

Literatur

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  • Herbert Amann und Joachim Escher, Analysis 1, Birkhäuser, Basel, 2002. (siehe Satz V.1.6)

Einzelnachweise

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  1. H. Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Vieweg+Teubner (2009), Satz 105.3, S. 555.
  2. E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis. An Introduction. University Press Group Ltd (2003), Theorem 3.1, S. 114.